(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
a) x^2 y' + 2 x y - y^3 = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que a gente tem aí: . Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Bernoulli tem a forma geral:
Aqui, a gente vai precisar identificar , e o expoente . Depois, vamos usar uma substituição para transformar essa equação não linear em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação original para deixá-la na forma padrão de Bernoulli. Dividindo tudo por , temos:
Agora, podemos identificar:

Passo 3

Como a equação é de Bernoulli com , vamos fazer a substituição . Isso vai transformar a equação não linear em uma equação linear. Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos substituir da equação original na expressão de :
Agora, reorganizamos a equação:
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma:
onde e .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:

Passo 6

Lembrando que , vamos resolver para :
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas a seguir.
(a) f(x)=e^(3 x)
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + y = 1/(1 + x^2), y(0) = 0
(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
b) y' = r y - k y^2, r > 0, k > 0;
Determine f'(x) para f(x) = 3x - 1.