(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
a) x^2 y' + 2 x y - y^3 = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que a gente tem aí: . Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Bernoulli tem a forma geral:
Aqui, a gente vai precisar identificar , e o expoente . Depois, vamos usar uma substituição para transformar essa equação não linear em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação original para deixá-la na forma padrão de Bernoulli. Dividindo tudo por , temos:
Agora, podemos identificar:

Passo 3

Como a equação é de Bernoulli com , vamos fazer a substituição . Isso vai transformar a equação não linear em uma equação linear. Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos substituir da equação original na expressão de :
Agora, reorganizamos a equação:
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma:
onde e .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:

Passo 6

Lembrando que , vamos resolver para :
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A solução geral da equação é:

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