(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substiuição
reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que a gente tem aí:
. Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Bernoulli tem a forma geral:
Aqui, a gente vai precisar identificar
,
e o expoente
. Depois, vamos usar uma substituição para transformar essa equação não linear em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação original para deixá-la na forma padrão de Bernoulli. Dividindo tudo por
, temos:
Agora, podemos identificar:
Passo 3
Como a equação é de Bernoulli com
, vamos fazer a substituição
. Isso vai transformar a equação não linear em uma equação linear. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão de
:
Agora, reorganizamos a equação:
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma:
onde
e
.
Passo 5
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Lembrando que
, vamos resolver para
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas a seguir.
(a)
(a)
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substiuição
reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
b) ;
b)
Determine
para
.