(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
b) y' = r y - k y^2, r > 0, k > 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação de Bernoulli dada por , onde e . Esse tipo de equação é uma equação diferencial não linear, mas a gente pode transformar ela em uma equação linear usando uma substituição esperta. Para isso, vamos usar a substituição , que nesse caso vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação de Bernoulli geral. A equação de Bernoulli tem a forma:
Comparando com a nossa equação , a gente pode reescrever ela assim:
Então, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição . Como , temos:
Precisamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos substituir da equação original na expressão de :
Lembrando que , substituímos:
Agora, nossa equação ficou linear em termos de :

Passo 5

Vamos resolver a equação linear . Para isso, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo para resolver :
Podemos simplificar deixando apenas como uma constante :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde é uma constante de integração.

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(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
a) x^2 y' + 2 x y - y^3 = 0;
Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas a seguir.
(a) f(x)=e^(3 x)
Determine f'(x) para f(x) = 3x - 1.
Dadas as funcoos f(x) = x^2 + 1 e g(x) = 5x - 7, determine: (g o f)(x)