(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substiuição
reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação de Bernoulli dada por
, onde
e
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial não linear, mas a gente pode transformar ela em uma equação linear usando uma substituição esperta. Para isso, vamos usar a substituição
, que nesse caso vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação de Bernoulli geral. A equação de Bernoulli tem a forma:
Comparando com a nossa equação
, a gente pode reescrever ela assim:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição
. Como
, temos:
Precisamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão de
:
Lembrando que
, substituímos:
Agora, nossa equação ficou linear em termos de
:
Passo 5
Vamos resolver a equação linear
. Para isso, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo para resolver
:
Podemos simplificar deixando
apenas como uma constante
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli
é:
onde
é uma constante de integração.
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(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substiuição
reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
a) ;
a)
Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas a seguir.
(a)
(a)
Determine
para
.
Dadas as funcoos
e
, determine: