Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
c. f(t) = arctg(t^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . Ela é a função inversa da tangente, ou seja, para um dado , nos dá o ângulo cujo tangente é . A derivada da função arctangente é uma fórmula que já conhecemos:

Passo 3

Agora, nossa função não é só , mas sim . Isso significa que temos uma função composta: a função arctangente aplicada a . Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 4

A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada será:
No nosso caso, e . Então, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, derivamos :
Agora, substituímos por :

Passo 6

Em seguida, derivamos :

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando por :

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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