As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular x0 = 0. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de x_0.
(4 x^2 - 16 x^3) y'' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de Frobenius. A equação dada tem um ponto singular regular em . Isso significa que, perto desse ponto, a solução da equação pode ser expressa como uma série de potências. Vamos precisar entender como aplicar o método de Frobenius, que é super útil para resolver EDOs com pontos singulares regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la na forma padrão. A equação dada é:
Dividindo tudo por para isolar :
Podemos simplificar o denominador fatorando:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e na forma padrão da EDO:
No nosso caso, não há termo com , então , e:

Passo 4

Como estamos usando o método de Frobenius, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências de multiplicada por , onde é um número que vamos determinar. Então, nossa solução tem a forma:

Passo 5

Vamos derivar para encontrar :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Agora, substituímos e na equação diferencial:
Vamos simplificar a fração . Podemos expandir como uma série geométrica:
Então,

Passo 7

Substituindo de volta na equação diferencial:
Podemos combinar as somas:

Passo 8

Para que essa equação seja satisfeita para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos a equação de recorrência:
Podemos fatorar :
Isso implica que:

Passo 9

Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, analisamos o menor valor de , que é :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos apenas uma raiz real .

Passo 10

Com , podemos agora encontrar os coeficientes usando a equação de recorrência:
Isolando :
Simplificando:
Encontrar para todos os pode ser complicado, mas para termos uma solução básica, consideramos como uma constante arbitrária (normalmente ) e calculamos os primeiros termos da série.

Passo 11

Vamos calcular os primeiros termos da série para ter uma ideia da solução:
Para :
á
Para :
ãéáã
Para :
ãéáã
Isso sugere que os termos de ordem superior serão zero, e a solução fica apenas com o termo .

Resposta

A solução da equação diferencial usando o método de Frobenius é:
onde é uma constante arbitrária.

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