As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular . Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Frobenius. A gente tem uma EDO com um ponto singular regular em . O método de Frobenius é ótimo pra resolver esse tipo de equação, especialmente quando o ponto singular é regular. Vamos precisar entender como montar a solução em série de potências em torno de .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão para aplicar o método de Frobenius. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por para facilitar:
Aqui, identificamos os coeficientes e na forma padrão da EDO de segunda ordem:
No nosso caso, e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a indicial da equação, que nos dá o valor de para a solução da forma . A indicial é encontrada equacionando os termos de menor potência de na EDO.
Substituindo na equação:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Multiplicando tudo por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Resolvendo a equação indicial:
Portanto, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com o valor de , vamos montar a solução em série de potências. A solução geral pelo método de Frobenius é:
Substituindo :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os coeficientes . Substituindo a série na equação diferencial e igualando os coeficientes de cada potência de a zero, podemos determinar uma relação de recorrência para .
Após realizar os cálculos (que envolvem derivar a série duas vezes, substituir na EDO e simplificar), você encontrará que os coeficientes seguem uma relação que permite expressar todos os em função de .
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, usando o método de Frobenius em torno de , é:
Onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência obtida durante a resolução.