As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular x0 = 0. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de x_0.
x^2 y'' + (x^2 + 1/4) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Frobenius. A gente tem uma EDO com um ponto singular regular em . O método de Frobenius é ótimo pra resolver esse tipo de equação, especialmente quando o ponto singular é regular. Vamos precisar entender como montar a solução em série de potências em torno de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão para aplicar o método de Frobenius. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por para facilitar:
Aqui, identificamos os coeficientes e na forma padrão da EDO de segunda ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a indicial da equação, que nos dá o valor de para a solução da forma . A indicial é encontrada equacionando os termos de menor potência de na EDO.
Substituindo na equação:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Multiplicando tudo por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Resolvendo a equação indicial:
Portanto, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Com o valor de , vamos montar a solução em série de potências. A solução geral pelo método de Frobenius é:
Substituindo :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os coeficientes . Substituindo a série na equação diferencial e igualando os coeficientes de cada potência de a zero, podemos determinar uma relação de recorrência para .
Após realizar os cálculos (que envolvem derivar a série duas vezes, substituir na EDO e simplificar), você encontrará que os coeficientes seguem uma relação que permite expressar todos os em função de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, usando o método de Frobenius em torno de , é:
Onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência obtida durante a resolução.

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As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular x0 = 0. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de x_0.
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