Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente precisa resolver usando uma mudança de variável sugerida. A equação que temos é:
E a mudança de variável sugerida é:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e substituição de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição que nos foi dada:
. Nosso objetivo é reescrever a equação original em termos de
e
, e encontrar uma relação mais simples que possamos resolver.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
para encontrar
. Lembrando que
é função de
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação acima:
Passo 5
Vamos substituir
na equação original pela expressão que acabamos de encontrar:
Lembrando que
, substituímos
por
:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver por separação de variáveis.
Passo 8
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Vamos resolver para
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 12
Isolando
:
Passo 13
Finalmente, aplicando o logaritmo natural para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.