Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
e^y * y' = x * (x + e^y) - 1 ; v = x + e^y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente precisa resolver usando uma mudança de variável sugerida. A equação que temos é:
E a mudança de variável sugerida é:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e substituição de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição que nos foi dada: . Nosso objetivo é reescrever a equação original em termos de v e x, e encontrar uma relação mais simples que possamos resolver.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x para encontrar . Lembrando que y é função de x, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação acima:

Passo 5

Vamos substituir na equação original pela expressão que acabamos de encontrar:
Lembrando que , substituímos por v:

Passo 6

Podemos simplificar essa equação:
Adicionando 1 em ambos os lados:

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 8

Vamos separar as variáveis v e x:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Vamos resolver para v:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 12

Isolando e^y:

Passo 13

Finalmente, aplicando o logaritmo natural para resolver para y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde K é uma constante real arbitrária.

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