Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente precisa resolver usando uma mudança de variável sugerida. A equação que temos é:
E a mudança de variável sugerida é:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e substituição de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição que nos foi dada:
. Nosso objetivo é reescrever a equação original em termos de
e
, e encontrar uma relação mais simples que possamos resolver.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
para encontrar
. Lembrando que
é função de
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação acima:
Passo 5
Vamos substituir
na equação original pela expressão que acabamos de encontrar:
Lembrando que
, substituímos
por
:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver por separação de variáveis.
Passo 8
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Vamos resolver para
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 12
Isolando
:
Passo 13
Finalmente, aplicando o logaritmo natural para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais.
.
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
Resolva as equações diferenciais.
Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.