Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente precisa resolver usando uma mudança de variável sugerida. A equação que temos é:
E a mudança de variável sugerida é:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e substituição de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição que nos foi dada: . Nosso objetivo é reescrever a equação original em termos de e , e encontrar uma relação mais simples que possamos resolver.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a para encontrar . Lembrando que é função de , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação acima:

Passo 5

Vamos substituir na equação original pela expressão que acabamos de encontrar:
Lembrando que , substituímos por :

Passo 6

Podemos simplificar essa equação:
Adicionando 1 em ambos os lados:

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 8

Vamos separar as variáveis e :

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Vamos resolver para :
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 12

Isolando :

Passo 13

Finalmente, aplicando o logaritmo natural para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais.
.
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.
Resolva as equações diferenciais.
Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.