Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial
, com as condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, especificamente de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar integrar a equação duas vezes e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a primeira derivada
. A equação dada é:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a primeira derivada fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função
:
Integrando termo a termo:
Portanto, a função
fica:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, sabemos que
. Substituindo
na expressão de
:
Assim,
.
Segundo, usamos a condição
. Vamos primeiro escrever a expressão de
com
:
Substituindo
:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva: Sabendo-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva
para cada valor de
é
e que o gráfico da função passa pelo ponto
, determine a expressão da função
.
Exemplo: Calcule a integral indefinida
.
Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.
Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.