Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial f''(x) = x^2 + 3x + 1, com as condições iniciais f(0) = 1 e f'(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, especificamente de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar integrar a equação duas vezes e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a primeira derivada . A equação dada é:
Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, a primeira derivada fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função :
Integrando termo a termo:
Portanto, a função fica:
Onde é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, sabemos que . Substituindo na expressão de :
Assim, .
Segundo, usamos a condição . Vamos primeiro escrever a expressão de com :
Substituindo :
Portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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