Resolva: Sabendo-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva para cada valor de é e que o gráfico da função passa pelo ponto , determine a expressão da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função sabendo que a inclinação da reta tangente em cada ponto da curva é dada por . Além disso, sabemos que a curva passa pelo ponto . Então, vamos usar conceitos de derivadas e antiderivadas para achar a expressão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o coeficiente angular da reta tangente à curva é, na verdade, a derivada da função em relação a , isto é, . Nesse caso, temos:

Passo 3

Para encontrar , precisamos calcular a antiderivada de . Isso significa que vamos integrar em relação a :

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para achar a constante , usamos a informação de que a curva passa pelo ponto . Isso significa que quando , . Substituindo na expressão da função:

Resposta

A expressão da função é:

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Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial , com as condições iniciais e .
Exemplo: Se , calcule a área da região sob o gráfico de de até .