Resolva: Sabendo-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva
para cada valor de
é
e que o gráfico da função passa pelo ponto
, determine a expressão da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
sabendo que a inclinação da reta tangente em cada ponto
da curva é dada por
. Além disso, sabemos que a curva passa pelo ponto
. Então, vamos usar conceitos de derivadas e antiderivadas para achar a expressão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o coeficiente angular da reta tangente à curva
é, na verdade, a derivada da função em relação a
, isto é,
. Nesse caso, temos:
Passo 3
Para encontrar
, precisamos calcular a antiderivada de
. Isso significa que vamos integrar
em relação a
:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Para achar a constante
, usamos a informação de que a curva passa pelo ponto
. Isso significa que quando
,
. Substituindo na expressão da função:
Resposta
A expressão da função é:
Exercícios relacionados
Exemplo: Calcule a integral indefinida
.
Exemplo: Calcule a diferencial das funções: (a)
(b)
Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial
, com as condições iniciais
e
.
Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.