Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área
da região que está sob o gráfico da função
entre
e
. Isso tá ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área sob uma curva entre dois pontos, a gente usa a integral definida. A integral definida de uma função
entre
e
é representada por:
Ela nos dá exatamente a área entre o gráfico da função, o eixo
, e as linhas verticais
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa função
entre
e
. Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada de
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites de integração e subtraímos:
Usando propriedades dos logaritmos, isso pode ser simplificado para:
Resposta
A área
da região sob o gráfico de
de
até
é:
Exercícios relacionados
Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.
Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial
, com as condições iniciais
e
.
Obs.: É importante compreender a diferença entre integral indefinida e integral definida. Uma integral definida
é um número, enquanto uma integral indefinida
representa uma família de funções. A relação entre elas se dá através do Teorema Fundamental do Cálculo.
Resolva: Sabe-se da Física, que sobre um objeto na superfície da Terra ou próximo dela, atua uma força - a gravidade - que produz uma aceleração constante, denotada por
, cujo valor aproximado é de
. Uma pedra é jogada verticalmente para cima, de um ponto situado a
acima do solo e com velocidade inicial de
. Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) a distância da pedra ao solo após segundos.
(b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
© o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.
(a) a distância da pedra ao solo após
(b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
© o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.