Exemplo: Se , calcule a área da região sob o gráfico de de até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região que está sob o gráfico da função entre e . Isso tá ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área sob uma curva entre dois pontos, a gente usa a integral definida. A integral definida de uma função entre e é representada por:
Ela nos dá exatamente a área entre o gráfico da função, o eixo , e as linhas verticais e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função entre e . Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada de . Sabemos que:
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites de integração e subtraímos:
Usando propriedades dos logaritmos, isso pode ser simplificado para:

Resposta

A área da região sob o gráfico de de até é:

Exercícios relacionados

Exemplo: Se , calcule a área da região sob o gráfico de de até .
Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial , com as condições iniciais e .
Obs.: É importante compreender a diferença entre integral indefinida e integral definida. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida representa uma família de funções. A relação entre elas se dá através do Teorema Fundamental do Cálculo.
Resolva: Sabe-se da Física, que sobre um objeto na superfície da Terra ou próximo dela, atua uma força - a gravidade - que produz uma aceleração constante, denotada por , cujo valor aproximado é de . Uma pedra é jogada verticalmente para cima, de um ponto situado a acima do solo e com velocidade inicial de . Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) a distância da pedra ao solo após segundos.
(b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
© o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.