Exemplo: Se f(x) = 1 / (1 + x), calcule a área A da região sob o gráfico de f de x = 1 até x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região que está sob o gráfico da função entre e . Isso tá ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área sob uma curva entre dois pontos, a gente usa a integral definida. A integral definida de uma função entre e é representada por:
Ela nos dá exatamente a área entre o gráfico da função, o eixo , e as linhas verticais e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função entre e . Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada de . Sabemos que:
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites de integração e subtraímos:
Usando propriedades dos logaritmos, isso pode ser simplificado para:

Resposta

A área da região sob o gráfico de de até é:

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