Exemplo: Se , calcule a área da região sob o gráfico de de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a área A sob o gráfico da função no intervalo de até . Vamos usar o conceito de cálculo integral para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área sob o gráfico de uma função entre dois pontos pode ser encontrada calculando a integral definida dessa função nesse intervalo. A integral definida nos dá a soma das áreas infinitesimais sob a curva da função.

Passo 3

Vamos definir a função que vamos integrar:
E os limites de integração são de até .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de de 1 a 2:

Passo 5

Vamos integrar a função termo a termo:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:

Passo 7

Calculamos cada parte:

Passo 8

Subtraímos os dois valores para encontrar a área:

Resposta

A área da região sob o gráfico de de até é 2,5 unidades quadradas.

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Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial , com as condições iniciais e .
Resolva: Sabendo-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva para cada valor de é e que o gráfico da função passa pelo ponto , determine a expressão da função .
Exemplo: Se , calcule a área da região sob o gráfico de de até .
Obs.: É importante compreender a diferença entre integral indefinida e integral definida. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida representa uma família de funções. A relação entre elas se dá através do Teorema Fundamental do Cálculo.