Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a área A sob o gráfico da função
no intervalo de
até
. Vamos usar o conceito de cálculo integral para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a área sob o gráfico de uma função entre dois pontos pode ser encontrada calculando a integral definida dessa função nesse intervalo. A integral definida nos dá a soma das áreas infinitesimais sob a curva da função.
Passo 3
Vamos definir a função que vamos integrar:
E os limites de integração são de
até
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de 1 a 2:
Passo 5
Vamos integrar a função termo a termo:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Passo 7
Calculamos cada parte:
Passo 8
Subtraímos os dois valores para encontrar a área:
Resposta
A área
da região sob o gráfico de
de
até
é 2,5 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Equações diferenciais: Resolva a equação diferencial
, com as condições iniciais
e
.
Resolva: Sabendo-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva
para cada valor de
é
e que o gráfico da função passa pelo ponto
, determine a expressão da função
.
Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.
Obs.: É importante compreender a diferença entre integral indefinida e integral definida. Uma integral definida
é um número, enquanto uma integral indefinida
representa uma família de funções. A relação entre elas se dá através do Teorema Fundamental do Cálculo.