As equações da elipse, da parábola e da hipérbole podem ser escritas na seguinte forma padrão: , com positivo. Mostre que para a elipse
sendo . Verifique que e que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com as equações padrão da elipse, parábola e hipérbole, que estão na forma , onde é positivo. Especificamente, precisamos mostrar certas relações para a elipse e verificar algumas igualdades envolvendo (que geralmente representa a excentricidade) e (o semi-eixo maior). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das seções cônicas e como elas se relacionam com essa forma da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma geral da equação de uma seção cônica em coordenadas polares é dada por:
1r = B + A cos theta
Aqui, r = a(1 - epsilon^2)1 + epsilon cos theta é a distância do ponto qualquer na curva ao foco, é o ângulo polar, e e são constantes que determinam a forma da curva.
Para a elipse, sabemos que sua equação polar pode ser escrita como:
Onde:
é o semi-eixo maior da elipse.
é a excentricidade da elipse, que satisfaz .
Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar à forma e identificar e em termos de e .
Passo 3
Vamos começar invertendo a equação polar da elipse para encontrar r = a(1 - epsilon^2)1 + epsilon cos theta :