As equações da elipse, da parábola e da hipérbole podem ser escritas na seguinte forma padrão: , com positivo. Mostre que para a elipse
sendo . Verifique que e que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com as equações padrão da elipse, parábola e hipérbole, que estão na forma , onde é positivo. Especificamente, precisamos mostrar certas relações para a elipse e verificar algumas igualdades envolvendo (que geralmente representa a excentricidade) e (o semi-eixo maior). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das seções cônicas e como elas se relacionam com essa forma da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma geral da equação de uma seção cônica em coordenadas polares é dada por:
Aqui, é a distância do ponto qualquer na curva ao foco, é o ângulo polar, e e são constantes que determinam a forma da curva.
Para a elipse, sabemos que sua equação polar pode ser escrita como:
Onde:
é o semi-eixo maior da elipse.
é a excentricidade da elipse, que satisfaz .
Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar à forma e identificar e em termos de e .
Passo 3
Vamos começar invertendo a equação polar da elipse para encontrar :
Invertendo ambos os lados:
Podemos separar os termos no numerador:
Comparando com a forma padrão , identificamos:
Passo 4
Agora, vamos verificar que . Observando as expressões que encontramos:
Como , temos que . Portanto, é maior que :
Passo 5
Agora, vamos verificar . Sabemos que é positivo, então . Substituindo e :
Portanto:
Passo 6
Por fim, vamos verificar que . Primeiro, calculamos :