As equações da elipse, da parábola e da hipérbole podem ser escritas na seguinte forma padrão: , com positivo. Mostre que para a elipse
sendo . Verifique que e que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com as equações padrão da elipse, parábola e hipérbole, que estão na forma , onde é positivo. Especificamente, precisamos mostrar certas relações para a elipse e verificar algumas igualdades envolvendo (que geralmente representa a excentricidade) e (o semi-eixo maior). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das seções cônicas e como elas se relacionam com essa forma da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma geral da equação de uma seção cônica em coordenadas polares é dada por:
Aqui, é a distância do ponto qualquer na curva ao foco, é o ângulo polar, e e são constantes que determinam a forma da curva.
Para a elipse, sabemos que sua equação polar pode ser escrita como:
Onde:
  • é o semi-eixo maior da elipse.
  • é a excentricidade da elipse, que satisfaz .
Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar à forma e identificar e em termos de e .

Passo 3

Vamos começar invertendo a equação polar da elipse para encontrar :
Invertendo ambos os lados:
Podemos separar os termos no numerador:
Comparando com a forma padrão , identificamos:

Passo 4

Agora, vamos verificar que . Observando as expressões que encontramos:
Como , temos que . Portanto, é maior que :

Passo 5

Agora, vamos verificar . Sabemos que é positivo, então . Substituindo e :
Portanto:

Passo 6

Por fim, vamos verificar que . Primeiro, calculamos :
Então:
Agora, calculamos :
Portanto:

Resposta

Assim, demonstramos que para a elipse:
com , e verificamos que:

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Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
b) Para o caso e , mostre que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em e vale
Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo .
f) Mostre que
Como podemos interpretar esta equação?
Um satélite de massa está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é e a massa da Terra é . Considere que . O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
b) Calcule a excentricidade e o semi-eixo maior da órbita elíptica;
O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por , .
b) Calcule o ângulo entre o eixo principal da órbita após o impulso e o eixo principal da órbita antes do impulso.