As equações da elipse, da parábola e da hipérbole podem ser escritas na seguinte forma padrão: 1 / r=B+A cos theta, com A positivo. Mostre que para a elipse
B=1a(1-epsilon^2), A=epsilona(1-epsilon^2)
sendo B>A. Verifique que epsilon=A /|B| e que a=|B /(A^2-B^2)|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com as equações padrão da elipse, parábola e hipérbole, que estão na forma , onde é positivo. Especificamente, precisamos mostrar certas relações para a elipse e verificar algumas igualdades envolvendo (que geralmente representa a excentricidade) e (o semi-eixo maior). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das seções cônicas e como elas se relacionam com essa forma da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma geral da equação de uma seção cônica em coordenadas polares é dada por:
1r = B + A cos theta
Aqui, r = a(1 - epsilon^2)1 + epsilon cos theta é a distância do ponto qualquer na curva ao foco, é o ângulo polar, e e são constantes que determinam a forma da curva.
Para a elipse, sabemos que sua equação polar pode ser escrita como:
Onde:
  • é o semi-eixo maior da elipse.
  • é a excentricidade da elipse, que satisfaz .
Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar à forma e identificar e em termos de e .

Passo 3

Vamos começar invertendo a equação polar da elipse para encontrar r = a(1 - epsilon^2)1 + epsilon cos theta :
1r = 1 + epsilon cos thetaa(1 - epsilon^2)
Invertendo ambos os lados:
1r = 1a(1 - epsilon^2) + epsilona(1 - epsilon^2) cos theta
Podemos separar os termos no numerador:
B = 1a(1 - epsilon^2)
Comparando com a forma padrão A = epsilona(1 - epsilon^2) , identificamos:

Passo 4

Agora, vamos verificar que B = 1a(1 - epsilon^2) . Observando as expressões que encontramos:
A = epsilona(1 - epsilon^2)
B = 1a(1 - epsilon^2) > epsilona(1 - epsilon^2) = A
Como , temos que . Portanto, é maior que :

Passo 5

Agora, vamos verificar AB = epsilona(1 - epsilon^2)1a(1 - epsilon^2) = epsilon . Sabemos que epsilon = AB é positivo, então . Substituindo e :
Portanto:

Passo 6

Por fim, vamos verificar que A^2 = ( epsilona(1 - epsilon^2) )^2 = epsilon^2a^2(1 - epsilon^2)^2 . Primeiro, calculamos B^2 = ( 1a(1 - epsilon^2) )^2 = 1a^2(1 - epsilon^2)^2 :
A^2 - B^2 = epsilon^2 - 1a^2(1 - epsilon^2)^2 = -(1 - epsilon^2)a^2(1 - epsilon^2)^2 = -1a^2(1 - epsilon^2)
BA^2 - B^2 = 1a(1 - epsilon^2)-1a^2(1 - epsilon^2) = -a
Então:
a = | BA^2 - B^2 | = | -a | = a
Agora, calculamos :
Portanto:

Resposta

Assim, demonstramos que para a elipse:
B = 1a(1 - epsilon^2)
A = epsilona(1 - epsilon^2)
com epsilon = A|B| , e verificamos que:
a = | BA^2 - B^2 |

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