Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
f) Mostre que
Como podemos interpretar esta equação?
f) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, a força sempre aponta para o centro (representada por
). O conteúdo da matéria aqui envolve dinâmica de forças centriais e movimento em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de movimento em coordenadas polares e levar em conta a conservação do momento angular.
Passo 2
Vamos começar descrevendo o movimento da partícula em coordenadas polares
. Nessas coordenadas, a aceleração da partícula tem duas componentes: radial e angular.
Aqui,
é a aceleração radial e
é a aceleração angular.
Passo 3
Como a força é central, ela só tem componente na direção radial, ou seja, não há força na direção angular. Assim, a segunda componente da aceleração (angular) deve ser igual a zero:
Isso nos leva à conservação do momento angular
, que é dado por:
Se derivarmos
em relação ao tempo e igualarmos a zero, confirmamos que
é constante.
Passo 4
Voltando à componente radial da aceleração, aplicamos a segunda lei de Newton:
Queremos expressar isso em termos de
. Sabemos que
, então podemos resolver para
:
Passo 5
Substituindo
na equação da componente radial:
Simplificando a expressão:
Rearranjando os termos:
Resposta
A equação
descreve o movimento radial da partícula considerando não só a força central
, mas também uma força fictícia de centrífuga, representada por
. Isso significa que o movimento radial é influenciado por duas forças: a força real que atua na partícula e a força centrífuga que surge devido ao momento angular constante
. Essa interpretação nos ajuda a entender o movimento como se fosse em um potencial efetivo que inclui o efeito da rotação.
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Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
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;
a) Mostre que o rotacional de
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Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
b) Para o caso
e
, mostre que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em
e vale
As equações da elipse, da parábola e da hipérbole podem ser escritas na seguinte forma padrão:
, com
positivo. Mostre que para a elipse
sendo
. Verifique que
e que
.