Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
f) Mostre que
m ddotr=F(r)+L^2m r^3
Como podemos interpretar esta equação?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, a força sempre aponta para o centro (representada por F = r F(r)). O conteúdo da matéria aqui envolve dinâmica de forças centriais e movimento em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de movimento em coordenadas polares e levar em conta a conservação do momento angular.

Passo 2

Vamos começar descrevendo o movimento da partícula em coordenadas polares (r, theta). Nessas coordenadas, a aceleração da partícula tem duas componentes: radial e angular.
a = (ddotr - r dottheta^2) r + (r ddottheta + 2 dotr dottheta) theta
Aqui, ddotr é a aceleração radial e r ddottheta + 2 dotr dottheta é a aceleração angular.

Passo 3

Como a força é central, ela só tem componente na direção radial, ou seja, não há força na direção angular. Assim, a segunda componente da aceleração (angular) deve ser igual a zero:
r ddottheta + 2 dotr dottheta = 0
Isso nos leva à conservação do momento angular L, que é dado por:
L = m r^2 dottheta
Se derivarmos L em relação ao tempo e igualarmos a zero, confirmamos que L é constante.

Passo 4

Voltando à componente radial da aceleração, aplicamos a segunda lei de Newton:
m (ddotr - r dottheta^2) = F(r)
Queremos expressar isso em termos de L. Sabemos que L = m r^2 dottheta, então podemos resolver para dottheta:
dottheta = Lm r^2

Passo 5

Substituindo dottheta na equação da componente radial:
m ddotr - m r ( Lm r^2 )^2 = F(r)
Simplificando a expressão:
m ddotr - L^2m r^3 = F(r)
Rearranjando os termos:
m ddotr = F(r) + L^2m r^3

Resposta

A equação m ddotr = F(r) + L^2m r^3 descreve o movimento radial da partícula considerando não só a força central F(r), mas também uma força fictícia de centrífuga, representada por L^2m r^3. Isso significa que o movimento radial é influenciado por duas forças: a força real que atua na partícula e a força centrífuga que surge devido ao momento angular constante L. Essa interpretação nos ajuda a entender o movimento como se fosse em um potencial efetivo que inclui o efeito da rotação.

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