Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo .
f) Mostre que
Como podemos interpretar esta equação?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, a força sempre aponta para o centro (representada por ). O conteúdo da matéria aqui envolve dinâmica de forças centriais e movimento em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de movimento em coordenadas polares e levar em conta a conservação do momento angular.

Passo 2

Vamos começar descrevendo o movimento da partícula em coordenadas polares . Nessas coordenadas, a aceleração da partícula tem duas componentes: radial e angular.
Aqui, é a aceleração radial e é a aceleração angular.

Passo 3

Como a força é central, ela só tem componente na direção radial, ou seja, não há força na direção angular. Assim, a segunda componente da aceleração (angular) deve ser igual a zero:
Isso nos leva à conservação do momento angular , que é dado por:
Se derivarmos em relação ao tempo e igualarmos a zero, confirmamos que é constante.

Passo 4

Voltando à componente radial da aceleração, aplicamos a segunda lei de Newton:
Queremos expressar isso em termos de . Sabemos que , então podemos resolver para :

Passo 5

Substituindo na equação da componente radial:
Simplificando a expressão:
Rearranjando os termos:

Resposta

A equação descreve o movimento radial da partícula considerando não só a força central , mas também uma força fictícia de centrífuga, representada por . Isso significa que o movimento radial é influenciado por duas forças: a força real que atua na partícula e a força centrífuga que surge devido ao momento angular constante . Essa interpretação nos ajuda a entender o movimento como se fosse em um potencial efetivo que inclui o efeito da rotação.

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sendo . Verifique que e que .