Um satélite de massa m=10^3 kg está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é R=6,37 times 10^6 m e a massa da Terra é M. Considere que g=G M / R^2=9,81 m / s^2. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
b) Calcule a excentricidade epsilon e o semi-eixo maior a da órbita elíptica;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a órbita de um satélite em torno da Terra. A gente vai trabalhar com conceitos de mecânica orbital, especificamente sobre órbitas elípticas. Para isso, vamos precisar entender como calcular a excentricidade ( epsilon) e o semi-eixo maior ( a) de uma elipse, usando as distâncias do ponto mais próximo (perigeu) e do ponto mais distante (apogeu) da órbita em relação à superfície da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as distâncias do satélite ao centro da Terra nos pontos de perigeu e apogeu. A distância mínima do satélite à superfície é de 200 km, e a distância máxima é de 7200 km. Como essas distâncias são medidas a partir da superfície da Terra, precisamos somar o raio da Terra ( R = 6,37 times 10^6 m) para obter as distâncias ao centro da Terra.
Vamos converter as distâncias para metros:
  • Perigeu: 200 , km = 200 times 10^3 , m
  • Apogeu: 7200 , km = 7200 times 10^3 , m
Então:
  • Distância ao perigeu ( rp) = R + 200 times 10^3 , m
  • Distância ao apogeu ( ra) = R + 7200 times 10^3 , m

Passo 3

Vamos calcular essas distâncias:
  • rp = 6,37 times 10^6 , m + 200 times 10^3 , m = 6,37 times 10^6 + 2 times 10^5 = 6,57 times 10^6 , m
  • ra = 6,37 times 10^6 , m + 7,2 times 10^6 , m = 6,37 times 10^6 + 7,2 times 10^6 = 13,57 times 10^6 , m

Passo 4

Agora, para uma órbita elíptica, o semi-eixo maior ( a) é dado pela média das distâncias ao perigeu e ao apogeu:
a = rp + ra2
Substituindo os valores:
a = 6,57 times 10^6 + 13,57 times 10^62 = 20,14 times 10^62 = 10,07 times 10^6 , m

Passo 5

A excentricidade ( epsilon) de uma órbita elíptica mede o quão alongada ela é. Ela pode ser calculada usando a fórmula:
epsilon = ra - rpra + rp
Vamos substituir os valores que já calculamos:
epsilon = 13,57 times 10^6 - 6,57 times 10^613,57 times 10^6 + 6,57 times 10^6 = 7 times 10^620,14 times 10^6 approx 0,347

Resposta

A excentricidade da órbita é aproximadamente epsilon = 0,347 e o semi-eixo maior é a = 10,07 times 10^6 , m.

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