Um satélite de massa está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é e a massa da Terra é . Considere que . O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
b) Calcule a excentricidade e o semi-eixo maior da órbita elíptica;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a órbita de um satélite em torno da Terra. A gente vai trabalhar com conceitos de mecânica orbital, especificamente sobre órbitas elípticas. Para isso, vamos precisar entender como calcular a excentricidade ( ) e o semi-eixo maior ( ) de uma elipse, usando as distâncias do ponto mais próximo (perigeu) e do ponto mais distante (apogeu) da órbita em relação à superfície da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as distâncias do satélite ao centro da Terra nos pontos de perigeu e apogeu. A distância mínima do satélite à superfície é de 200 km, e a distância máxima é de 7200 km. Como essas distâncias são medidas a partir da superfície da Terra, precisamos somar o raio da Terra ( ) para obter as distâncias ao centro da Terra.
Vamos converter as distâncias para metros:
  • Perigeu:
  • Apogeu:
Então:
  • Distância ao perigeu ( ) =
  • Distância ao apogeu ( ) =

Passo 3

Vamos calcular essas distâncias:

Passo 4

Agora, para uma órbita elíptica, o semi-eixo maior ( ) é dado pela média das distâncias ao perigeu e ao apogeu:
Substituindo os valores:

Passo 5

A excentricidade ( ) de uma órbita elíptica mede o quão alongada ela é. Ela pode ser calculada usando a fórmula:
Vamos substituir os valores que já calculamos:

Resposta

A excentricidade da órbita é aproximadamente e o semi-eixo maior é .

Exercícios relacionados

As equações da elipse, da parábola e da hipérbole podem ser escritas na seguinte forma padrão: , com positivo. Mostre que para a elipse
sendo . Verifique que e que .
Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
b) Para o caso e , mostre que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em e vale
O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por , .
b) Calcule o ângulo entre o eixo principal da órbita após o impulso e o eixo principal da órbita antes do impulso.
Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com e constantes.
a) Encontre a força que possibilita esse movimento;