Um satélite de massa está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é e a massa da Terra é . Considere que . O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
b) Calcule a excentricidade e o semi-eixo maior da órbita elíptica;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a órbita de um satélite em torno da Terra. A gente vai trabalhar com conceitos de mecânica orbital, especificamente sobre órbitas elípticas. Para isso, vamos precisar entender como calcular a excentricidade () e o semi-eixo maior () de uma elipse, usando as distâncias do ponto mais próximo (perigeu) e do ponto mais distante (apogeu) da órbita em relação à superfície da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as distâncias do satélite ao centro da Terra nos pontos de perigeu e apogeu. A distância mínima do satélite à superfície é de 200 km, e a distância máxima é de 7200 km. Como essas distâncias são medidas a partir da superfície da Terra, precisamos somar o raio da Terra () para obter as distâncias ao centro da Terra.
Vamos converter as distâncias para metros:
Perigeu:
Apogeu:
Então:
Distância ao perigeu () =
Distância ao apogeu () =
Passo 3
Vamos calcular essas distâncias:
Passo 4
Agora, para uma órbita elíptica, o semi-eixo maior () é dado pela média das distâncias ao perigeu e ao apogeu:
Substituindo os valores:
Passo 5
A excentricidade () de uma órbita elíptica mede o quão alongada ela é. Ela pode ser calculada usando a fórmula:
Vamos substituir os valores que já calculamos:
Resposta
A excentricidade da órbita é aproximadamente e o semi-eixo maior é .