Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
b) Para o caso
e
, mostre que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em
e vale
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move sob a ação de uma força central, que é dada por:
Aqui,
é uma constante,
é a distância da partícula ao ponto central, e
é o vetor unitário na direção de
. A parte que precisamos focar é no caso onde
é negativo (
) e o momento angular
não é zero (
). Queremos mostrar que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em um certo valor de
e calcular o valor desse potencial nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre potencial efetivo e como encontrar seus pontos mínimos usando cálculo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial efetivo combina o potencial da força central com um termo que vem do momento angular. Ele é dado por:
Onde:
-
é o potencial associado à força central. -
é o momento angular. -
é a massa da partícula. -
é a distância ao centro.
No nosso caso, a força
está relacionada ao potencial
pela relação
. Dada a força
, podemos integrar para encontrar
.
Passo 3
Vamos encontrar
integrando a força:
Então:
Podemos desprezar a constante de integração
porque estamos interessados apenas nas diferenças de potencial. Assim:
Passo 4
Agora, vamos escrever o potencial efetivo usando
que acabamos de encontrar:
Queremos encontrar o valor mínimo desse potencial, ou seja, o valor de
que minimiza
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 6
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
, o sinal negativo se cancela:
Passo 7
Agora que temos
, vamos calcular o valor do potencial efetivo nesse ponto. Substituímos
na expressão de
:
Substituindo
:
Primeiro, calcule
:
Agora, calcule
:
Somando os dois termos:
Resposta
O valor mínimo do potencial efetivo ocorre em
e vale
.