Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
b) Para o caso e , mostre que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em e vale

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move sob a ação de uma força central, que é dada por:
Aqui, é uma constante, é a distância da partícula ao ponto central, e é o vetor unitário na direção de . A parte que precisamos focar é no caso onde é negativo ( ) e o momento angular não é zero ( ). Queremos mostrar que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em um certo valor de e calcular o valor desse potencial nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre potencial efetivo e como encontrar seus pontos mínimos usando cálculo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial efetivo combina o potencial da força central com um termo que vem do momento angular. Ele é dado por:
Onde:
  • é o potencial associado à força central.
  • é o momento angular.
  • é a massa da partícula.
  • é a distância ao centro.
No nosso caso, a força está relacionada ao potencial pela relação . Dada a força , podemos integrar para encontrar .

Passo 3

Vamos encontrar integrando a força:
Então:
Podemos desprezar a constante de integração porque estamos interessados apenas nas diferenças de potencial. Assim:

Passo 4

Agora, vamos escrever o potencial efetivo usando que acabamos de encontrar:
Queremos encontrar o valor mínimo desse potencial, ou seja, o valor de que minimiza . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 5

Calculando a derivada de :
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 6

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Como , o sinal negativo se cancela:

Passo 7

Agora que temos , vamos calcular o valor do potencial efetivo nesse ponto. Substituímos na expressão de :
Substituindo :
Primeiro, calcule :
Agora, calcule :
Somando os dois termos:

Resposta

O valor mínimo do potencial efetivo ocorre em e vale .

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sendo . Verifique que e que .
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