Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
F=kr^2 r
b) Para o caso k<0 e L neq 0, mostre que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em r0=L^2 /(-k m) e vale V^prime(r0)= -k^2 m / 2 L^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move sob a ação de uma força central, que é dada por:
F = kr^2 r
Aqui, k é uma constante, r é a distância da partícula ao ponto central, e r é o vetor unitário na direção de r. A parte que precisamos focar é no caso onde k é negativo ( k < 0) e o momento angular L não é zero ( L neq 0). Queremos mostrar que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em um certo valor de r0 e calcular o valor desse potencial nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre potencial efetivo e como encontrar seus pontos mínimos usando cálculo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial efetivo combina o potencial da força central com um termo que vem do momento angular. Ele é dado por:
Vefetivo(r) = V(r) + L^22 m r^2
Onde:
  • V(r) é o potencial associado à força central.
  • L é o momento angular.
  • m é a massa da partícula.
  • r é a distância ao centro.
No nosso caso, a força F está relacionada ao potencial V(r) pela relação F = -nabla V(r). Dada a força F = kr^2 r, podemos integrar para encontrar V(r).

Passo 3

Vamos encontrar V(r) integrando a força:
F = -dVdr r Rightarrow kr^2 r = -dVdr r
Então:
dVdr = -kr^2 Rightarrow V(r) = integral -kr^2 dr = kr + C
Podemos desprezar a constante de integração C porque estamos interessados apenas nas diferenças de potencial. Assim:
V(r) = kr

Passo 4

Agora, vamos escrever o potencial efetivo usando V(r) que acabamos de encontrar:
Vefetivo(r) = kr + L^22 m r^2
Queremos encontrar o valor mínimo desse potencial, ou seja, o valor de r = r0 que minimiza Vefetivo(r). Para isso, vamos derivar Vefetivo(r) em relação a r e igualar a zero.

Passo 5

Calculando a derivada de Vefetivo(r):
dVefetivodr = -kr^2 - L^2m r^3
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
-kr^2 - L^2m r^3 = 0
Vamos resolver essa equação para r = r0.

Passo 6

Resolvendo a equação:
-kr^2 - L^2m r^3 = 0 Rightarrow kr^2 = -L^2m r^3
Multiplicando ambos os lados por r^3:
k r = -L^2m Rightarrow r = -L^2k m
Como k < 0, o sinal negativo se cancela:
r0 = L^2-k m

Passo 7

Agora que temos r0, vamos calcular o valor do potencial efetivo nesse ponto. Substituímos r = r0 na expressão de Vefetivo(r):
Vefetivo(r0) = kr0 + L^22 m r0^2
Substituindo r0 = L^2-k m:
Primeiro, calcule kr0:
kr0 = kL^2-k m = -k^2 mL^2
Agora, calcule L^22 m r0^2:
L^22 m r0^2 = L^22 m (L^2-k m)^2 = L^22 m L^4k^2 m^2 = k^2 m2 L^2
Somando os dois termos:
Vefetivo(r0) = -k^2 mL^2 + k^2 m2 L^2 = -k^2 m2 L^2

Resposta

O valor mínimo do potencial efetivo ocorre em r0 = dfracL^2-k m e vale V^prime(r0) = -dfrack^2 m2 L^2.

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