A temperatura
no ponto
de uma placa de metal circular aquecida com centro na origem é dada por
, onde
é medida em graus Celsius e
e
em centímetros.
Que direção se deve tomar a partir de
afim de que
aumente o mais rápido possível?
Que direção se deve tomar a partir de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a temperatura
em um ponto
de uma placa de metal circular aquecida. A fórmula dada é
. O que precisamos descobrir é, a partir do ponto
, qual a direção que devemos seguir para que a temperatura aumente o mais rápido possível. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente em cálculo multivariável, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
, representado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. As componentes desse vetor são as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. A função dada é:
Para encontrar
, tratamos
como uma constante:
De forma similar, para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente
no ponto
. Primeiro, substituímos
e
na expressão do gradiente:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 5
O vetor gradiente
indica a direção de maior aumento da temperatura. No entanto, queremos a direção para que a temperatura aumente o mais rápido possível, que é exatamente essa direção.
Para expressar isso como um vetor unitário (direção pura), normalizamos o vetor gradiente:
Então, a direção unitária é:
Resposta
A direção a ser tomada a partir de
para que a temperatura aumente o mais rápido possível é na direção do vetor
.