A temperatura no ponto de uma placa de metal circular aquecida com centro na origem é dada por , onde é medida em graus Celsius e e em centímetros.
Que direção se deve tomar a partir de afim de que aumente o mais rápido possível?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a temperatura em um ponto de uma placa de metal circular aquecida. A fórmula dada é . O que precisamos descobrir é, a partir do ponto , qual a direção que devemos seguir para que a temperatura aumente o mais rápido possível. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente em cálculo multivariável, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função , representado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. As componentes desse vetor são as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . A função dada é:
Para encontrar , tratamos como uma constante:
De forma similar, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Primeiro, substituímos e na expressão do gradiente:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

O vetor gradiente indica a direção de maior aumento da temperatura. No entanto, queremos a direção para que a temperatura aumente o mais rápido possível, que é exatamente essa direção.
Para expressar isso como um vetor unitário (direção pura), normalizamos o vetor gradiente:
Então, a direção unitária é:

Resposta

A direção a ser tomada a partir de para que a temperatura aumente o mais rápido possível é na direção do vetor .

Exercícios relacionados

Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em ;
A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Prove as seguintes identidades (assuma as funções continuamente deriváveis duas vezes). .
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico e o campo magnético , quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue
onde é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
.
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).