A temperatura T no ponto (x, y) de uma placa de metal circular aquecida com centro na origem é dada por T = 400 / (2 + x^2 + y^2), onde T é medida em graus Celsius e x e y em centímetros.
Que direção se deve tomar a partir de 1,1 afim de que T aumente o mais rápido possível?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a temperatura T em um ponto (x, y) de uma placa de metal circular aquecida. A fórmula dada é . O que precisamos descobrir é, a partir do ponto 1,1, qual a direção que devemos seguir para que a temperatura aumente o mais rápido possível. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente em cálculo multivariável, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função T(x, y), representado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. As componentes desse vetor são as derivadas parciais de T em relação a x e a y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T em relação a x e a y. A função dada é:
Para encontrar , tratamos y como uma constante:
De forma similar, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto 1,1. Primeiro, substituímos x = 1 e na expressão do gradiente:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

O vetor gradiente indica a direção de maior aumento da temperatura. No entanto, queremos a direção para que a temperatura aumente o mais rápido possível, que é exatamente essa direção.
Para expressar isso como um vetor unitário (direção pura), normalizamos o vetor gradiente:
Então, a direção unitária é:

Resposta

A direção a ser tomada a partir de 1,1 para que a temperatura aumente o mais rápido possível é na direção do vetor .

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