Equações Polares das Órbitas

Exercicio Escreva a equação polar da forma
para as órbitas da Terra e do Rogue 2000, usando unidades UA para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Equações Polares das Órbitas! O que a gente precisa fazer é escrever a equação polar na forma dada:
Isso para as órbitas da Terra e do Rogue 2000, usando unidades de UA (Unidades Astronômicas) para . Para isso, vamos precisar dos valores do semi-eixo maior e da excentricidade de cada órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e :
  • Semi-eixo maior ( ): é a metade do maior diâmetro da órbita elíptica. Basicamente, é a distância média do planeta ao Sol.
  • Excentricidade ( ): mede o quão “esticada” é a órbita. Se , a órbita é um círculo perfeito. Se está entre 0 e 1, a órbita é uma elipse.
Para resolver o exercício, precisamos dos valores de e para a Terra e para o Rogue 2000.

Passo 3

Vamos começar com a Terra:
  • Semi-eixo maior ( ): Por definição, a distância média da Terra ao Sol é 1 UA.
  • Excentricidade ( ): A órbita da Terra tem uma excentricidade de aproximadamente 0,0167.
Agora, substituímos esses valores na equação:
Vamos calcular :
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa para o Rogue 2000. Supondo que temos os seguintes valores para essa órbita:
  • Semi-eixo maior ( ): Vamos supor que UA.
  • Excentricidade ( ): Vamos supor que .
Substituímos esses valores na equação:
Calculando :
Então, a equação fica:

Resposta

A equação polar das órbitas é:
  • Terra:
  • Rogue 2000:

Exercícios relacionados

Nos Exercícios 36 e 37, use a fórmula para obtida no Exercício 35.
36. (a) Use a identidade trigonométrica
para mostrar que se for um ponto sobre a cardióide
ã
(b) Esboce a cardióide e mostre o ângulo nos pontos onde a cardióide cruza o eixo .
© Determine o ângulo nos pontos onde a cardióide cruza o eixo .
Exercício 11 Use a fórmula da distância do Exercício 67(a) da Seção 3.1 para calcular a distância entre a Terra e o Rogue 2000 em unidades UA quando a Terra estiver na intersecção , e então use o fator de conversão para determinar se uma notificação governamental deverá ser emitida.
Nota: Uma das maiores aproximações perigosas na história recente ocorreu em 30 de outubro de 1937, quando o asteróide Hermes passou a menos de 900.000 km da Terra; mais recentemente, em 14 de julho de 1968, o asteróide Ícaro passou a menos de 23.000 .000 km da Terra.
Módulo por Mary Ann Connors, USMA, West Point, e Howard Anton, Drexel University
Exercício 2 Use um recurso gráfico para gerar as duas órbitas na mesma tela.

Intersecção das Órbitas

O segundo passo do plano de cálculo de sua equipe é determinar as coordenadas polares da intersecção A.
Exercício 3 Por simplicidade, sejam e , e use as equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que o ângulo na intersecção satisfaz a equação