Nos Exercícios 36 e 37, use a fórmula para
obtida no Exercício 35.
36. (a) Use a identidade trigonométrica
para mostrar que se
for um ponto sobre a cardióide
(b) Esboce a cardióide e mostre o ângulo
nos pontos onde a cardióide cruza o eixo
.
© Determine o ângulo
nos pontos onde a cardióide cruza o eixo
.
36. (a) Use a identidade trigonométrica
© Determine o ângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Este exercício fala sobre uma curva chamada cardióide, que tem a equação polar
para
. A gente vai usar trigonometria, especificamente uma identidade trig, para entender melhor essa curva. Precisamos mostrar uma relação entre
e
, esboçar a cardióide e determinar um ângulo especial
nos pontos onde a curva cruza o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). A identidade trigonométrica que vamos usar é:
Queremos mostrar que, se
, então
.
Sabemos que em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas
e
são dadas por:
Substituindo
em
:
Agora, usando a identidade trig que temos:
Podemos reescrever
como:
Portanto, conseguimos relacionar
com
de maneira que
, conforme queríamos demonstrar.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos esboçar a cardióide
e identificar os pontos onde ela cruza o eixo
.
Para esboçar a cardióide:
- Quando
, . Então, o ponto está na origem. - Quando
, . O ponto está no ponto mais distante no eixo negativo . - Para
variando de 0 a , a curva forma uma forma de coração, com um lóbul os voltando para a origem.
Os pontos onde a cardióide cruza o eixo
acontecem quando
. Em coordenadas polares, isso ocorre quando
e
.
No esboço, marque esses pontos e identifique o ângulo
nesses locais.
Passo 4
Finalmente, na parte ©, precisamos determinar o ângulo
nos pontos onde a cardióide cruza o eixo
.
Sabemos que nos pontos de cruzamento com o eixo
,
e
.
Usando a relação que obtivemos na parte (a):
Então, para
:
E para
:
Resposta
O ângulo
nos pontos onde a cardióide cruza o eixo
são
e
radianos.