Nos Exercícios 36 e 37, use a fórmula para psi obtida no Exercício 35.
36. (a) Use a identidade trigonométrica
tg(θ/2) = (1 - cos(θ)) / sen(θ)
para mostrar que se (r, θ) for um ponto sobre a cardióide
r = 1 - cos(theta), 0 <= theta < 2 pi, então y = theta / 2ã
(b) Esboce a cardióide e mostre o ângulo psi nos pontos onde a cardióide cruza o eixo y.
© Determine o ângulo psi nos pontos onde a cardióide cruza o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Este exercício fala sobre uma curva chamada cardióide, que tem a equação polar para . A gente vai usar trigonometria, especificamente uma identidade trig, para entender melhor essa curva. Precisamos mostrar uma relação entre e , esboçar a cardióide e determinar um ângulo especial nos pontos onde a curva cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). A identidade trigonométrica que vamos usar é:
Queremos mostrar que, se , então .
Sabemos que em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas e são dadas por:
Substituindo em :
Agora, usando a identidade trig que temos:
Podemos reescrever como:
Portanto, conseguimos relacionar com de maneira que , conforme queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos esboçar a cardióide e identificar os pontos onde ela cruza o eixo .
Para esboçar a cardióide:
  1. Quando , . Então, o ponto está na origem.
  2. Quando , . O ponto está no ponto mais distante no eixo negativo .
  3. Para variando de 0 a , a curva forma uma forma de coração, com um lóbul os voltando para a origem.
Os pontos onde a cardióide cruza o eixo acontecem quando . Em coordenadas polares, isso ocorre quando e .
No esboço, marque esses pontos e identifique o ângulo nesses locais.

Passo 4

Finalmente, na parte ©, precisamos determinar o ângulo nos pontos onde a cardióide cruza o eixo .
Sabemos que nos pontos de cruzamento com o eixo , e .
Usando a relação que obtivemos na parte (a):
Então, para :
E para :

Resposta

O ângulo nos pontos onde a cardióide cruza o eixo são e radianos.

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