Intersecção das Órbitas
O segundo passo do plano de cálculo de sua equipe é determinar as coordenadas polares da intersecção A.
Exercício 3 Por simplicidade, sejam
e
, e use as equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que o ângulo
na intersecção
satisfaz a equação
Exercício 3 Por simplicidade, sejam
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem que encontrar as coordenadas polares do ponto de intersecção A entre duas órbitas. A matéria envolvida aqui é a de coordenadas polares e equações de órbitas elípticas. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas das equações polares das órbitas e manipular um pouco a matemática para chegar no resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação polar de uma órbita elíptica. Ela é dada por:
Aqui,
é a distância do foco (onde está o corpo central, como o Sol) até o ponto na órbita,
é a excentricidade da elipse,
é o ângulo, e
é uma constante que depende do tamanho da órbita e do corpo central.
Passo 3
Na intersecção A, as duas órbitas têm a mesma posição
e
. Isso significa que podemos igualar as duas equações das órbitas nesse ponto. Vamos chamar a primeira órbita de
e a segunda de
:
Passo 4
Agora, para resolver essa equa��ão, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos expandir os dois lados da equação:
Passo 6
Agora, vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os termos constantes do outro lado:
Passo 7
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão
:
Resposta
Então, mostramos que o ângulo
na intersecção
satisfaz a equação:
Exercícios relacionados
Exercício 2 Use um recurso gráfico para gerar as duas órbitas na mesma tela.
Equações Polares das Órbitas
Exercicio
Escreva a equação polar da forma
para as órbitas da Terra e do Rogue 2000, usando unidades UA para
.
Exercício 5 Use o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que se
estiver em unidades UA, então as coordenadas polares da intersecção
são
.
Exercicio 7 Use uma calculadora com capacidade de integração numérica, Fórmula (2), e a equação polar para a órbita da Terra obtida no Exercício 1 para determinar o tempo
(em anos), necessário para a Terra mover-se de sua posição inicial até a intersecção
.