Intersecção das Órbitas

O segundo passo do plano de cálculo de sua equipe é determinar as coordenadas polares da intersecção A.
Exercício 3 Por simplicidade, sejam k1 = a1(1 - e1^2) e k2 = a2 * (1 - e2^2), e use as equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que o ângulo theta na intersecção A satisfaz a equação
cos(θ) = (k1 - k2) / (k1 * e2 - k2 * e1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem que encontrar as coordenadas polares do ponto de intersecção A entre duas órbitas. A matéria envolvida aqui é a de coordenadas polares e equações de órbitas elípticas. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas das equações polares das órbitas e manipular um pouco a matemática para chegar no resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação polar de uma órbita elíptica. Ela é dada por:
Aqui, é a distância do foco (onde está o corpo central, como o Sol) até o ponto na órbita, é a excentricidade da elipse, é o ângulo, e é uma constante que depende do tamanho da órbita e do corpo central.

Passo 3

Na intersecção A, as duas órbitas têm a mesma posição e . Isso significa que podemos igualar as duas equações das órbitas nesse ponto. Vamos chamar a primeira órbita de e a segunda de :

Passo 4

Agora, para resolver essa equa��ão, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos expandir os dois lados da equação:

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos que contêm de um lado e os termos constantes do outro lado:

Passo 7

Fatorando no lado esquerdo:

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão :

Resposta

Então, mostramos que o ângulo na intersecção satisfaz a equação:

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