Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da hipérbole x^2-y^23=1.

Passo 1

Beleza, você quer transformar a equação da hipérbole das coordenadas cartesianas para as coordenadas polares. Vamos usar as fórmulas de conversão e entender a teoria por trás disso para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas x = r costheta para polares y = r sintheta . As fórmulas são:
Isso significa que podemos substituir e na equação da hipérbole usando essas expressões.

Passo 3

Agora, vamos substituir x^2 - y^23 = 1 e (r costheta)^2 - (r sintheta)^23 = 1 na equação da hipérbole:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar os termos ao quadrado:
r^2 cos^2theta - r^2 sin^2theta3 = 1
Fatorando r^2 ( cos^2theta - sin^2theta3 ) = 1 :

Passo 5

Agora, para isolar r^2 = 1cos^2theta - sin^2theta3 , dividimos ambos os lados da equação pelo termo que está junto de :

Passo 6

Para encontrar r = raiz 1cos^2theta - sin^2theta3 , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
r = 1raiz cos^2theta - sin^2theta3
Podemos também escrever isso como:

Resposta

A equação polar da hipérbole r = 1raiz cos^2theta - sin^2theta3 é:

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