Nos exercicios 9 e 10, (a) expresse
e
mo funçöes de
e
usando a Regra da cadeia e tambe
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a Regra da Cadeia. As funções fornecidas são:
E queremos avaliar essas derivadas no ponto
. Para resolver isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. Primeiro, para
:
Calculando cada termo:
Substituindo na expressão:
Passo 4
De forma semelhante, para
:
Calculando cada termo:
Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
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Suponha que a temperatura ambiente é igual a
e que a temperatura
de um corpo depende apenas do tempo
. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
Verifique que a temperatura satisfaz a equação
Verifique que a temperatura
onde
é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?
(Equações de Riccati) A equação
é conhecida como a equação de Riccati. Suponhamos que uma certa solução
desta equação é conhecida. Uma solução mais geral, com uma constante arbitrária, pode ser conseguida pela substituição
Considere a equação de Riccati
Verifique que
é uma solução da equação. Em seguida, utilize as informações do item (a) para resolver a equação.
Nos exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
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