Nos exercicios 9 e 10, (a) expresse partial w / partial u e partial w / partial v mo funçöes de u e v usando a Regra da cadeia e tambe
z=tg^-1(x / y), x=u cos v, y=u sen v (u, v)=(1,3, pi / 6)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a Regra da Cadeia. As funções fornecidas são:
E queremos avaliar essas derivadas no ponto . Para resolver isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar w = arctan(xy) = arctan(u cos vu sin v) = arctan(cos vsin v) = arctan(cot v) em termos de e . Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. Primeiro, para partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial xpartial u + partial wpartial y cdot partial ypartial u :
partial wpartial u = yx^2 + y^2 cdot cos v - xx^2 + y^2 cdot sin v
Calculando cada termo:
Substituindo na expressão:

Passo 4

De forma semelhante, para partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial xpartial v + partial wpartial y cdot partial ypartial v :
partial wpartial v = yx^2 + y^2 cdot (-u sin v) - xx^2 + y^2 cdot (u cos v)
Calculando cada termo:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, vamos substituir x = cos(pi6) = raiz32, y = sin(pi6) = 12 , x^2 + y^2 = (raiz32)^2 + (12)^2 = 34 + 14 = 1 e partial wpartial u = 121 cdot raiz32 - raiz321 cdot 12 = raiz34 - raiz34 = 0 :
Para partial wpartial v = 121 cdot (-1 cdot 12) - raiz321 cdot (1 cdot raiz32) = -14 - 34 = -1 :
Para :

Resposta

partial wpartial u = 0 e partial wpartial v = -1

Exercícios relacionados