A posição de uma partícula que se move em um eixo é dada por
com em metros e em segundos. Qual é a velocidade da partícula em ? A velocidade é constante ou está variando continuamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de um eixo . A posição dessa partícula em função do tempo é dada pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula quando o tempo é igual a 3,5 segundos. Além disso, queremos saber se essa velocidade é constante ou está mudando ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a posição da partícula depende do tempo . A função que descreve essa posição é:
Aqui, está em metros e em segundos. Para achar a velocidade, precisamos saber como a posição muda com o tempo, ou seja, precisamos da derivada de em relação a .

Passo 3

A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade é a derivada de em relação a :
Então, vamos derivar a função de posição para encontrar a velocidade.

Passo 4

Vamos derivar cada termo da função :
  • A derivada de uma constante, como 7,8, é 0.
  • A derivada de em relação a é 9,2.
  • A derivada de em relação a é .
Portanto, a função da velocidade fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade no instante segundos substituindo na função :
Primeiro, calculamos :
Então:

Passo 6

Observando a função da velocidade , vemos que ela depende do tempo e possui um termo . Isso significa que, conforme o tempo passa, a velocidade muda, pois está elevado a uma potência. Portanto, a velocidade não é constante; ela está variando continuamente ao longo do tempo.

Resposta

A velocidade da partícula em segundos é de -68,0 m/s. Além disso, a velocidade está variando continuamente ao longo do tempo.

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