A posição de uma partícula que se move em um eixo
é dada por
com
em metros e
em segundos. Qual é a velocidade da partícula em
? A velocidade é constante ou está variando continuamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de um eixo
. A posição dessa partícula em função do tempo
é dada pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula quando o tempo
é igual a 3,5 segundos. Além disso, queremos saber se essa velocidade é constante ou está mudando ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a posição
da partícula depende do tempo
. A função que descreve essa posição é:
Aqui,
está em metros e
em segundos. Para achar a velocidade, precisamos saber como a posição muda com o tempo, ou seja, precisamos da derivada de
em relação a
.
Passo 3
A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade
é a derivada de
em relação a
:
Então, vamos derivar a função de posição para encontrar a velocidade.
Passo 4
Vamos derivar cada termo da função
:
- A derivada de uma constante, como 7,8, é 0.
- A derivada de
em relação a é 9,2. - A derivada de
em relação a é .
Portanto, a função da velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade no instante
segundos substituindo na função
:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 6
Observando a função da velocidade
, vemos que ela depende do tempo
e possui um termo
. Isso significa que, conforme o tempo passa, a velocidade muda, pois
está elevado a uma potência. Portanto, a velocidade não é constante; ela está variando continuamente ao longo do tempo.
Resposta
A velocidade da partícula em
segundos é de -68,0 m/s. Além disso, a velocidade está variando continuamente ao longo do tempo.