As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações, x está em metros, t está em segundos, e t >0 ):
a) x(t)=2 t
b) x(t)=2-t
c) x(t)=-t+2
d) x(t)=t-4
Em que caso(s) a velocidade v da partícula é constante? (b) Em que caso(s) a velocidade v está orientada no sentido negativo do eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro funções de posição que descrevem onde uma partícula está em diferentes momentos. A pergunta é duas coisas: primeiro, em quais dessas funções a velocidade da partícula é constante, e segundo, em quais dessas funções a velocidade está apontando para o lado negativo do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre posição e velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo . Se a derivada for uma constante, então a velocidade é constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada função :
a)
Derivando em relação a :
b)
Derivando em relação a :
c)
Derivando em relação a :
d)
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora que temos as velocidades para cada caso, vamos analisar:
  • Velocidade constante: Se a velocidade não depende de e é uma constante, então a velocidade é constante. Nas funções a), b), c) e d), todas as derivadas resultaram em números constantes (2, -1, -1, e 1, respectivamente). Isso significa que em todos os casos a velocidade é constante.
  • Velocidade no sentido negativo do eixo : Se a velocidade for negativa, isso indica que a partícula está se movendo na direção negativa do eixo . Observando os valores:
    • a) → positivo
    • b) → negativo
    • c) → negativo
    • d) → positivo
    Portanto, as funções b) e c) têm velocidade no sentido negativo do eixo .

Resposta

A velocidade da partícula é constante em todos os casos (a, b, c e d). Além disso, a velocidade está orientada no sentido negativo do eixo nas funções b) e c).

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