Quais das equações a seguir representam um círculo. Caso seja um círculo, diga quem é o raio e o centro.
(a) x^2+y^2-10 x-8 y+41=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos descobrir se ela representa um círculo. Se sim, vamos encontrar o centro e o raio desse círculo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a forma padrão da equação de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x^2 - 10x + y^2 - 8y = -41 e de juntos. Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 10x = (x^2 - 10x + 25) - 25 = (x - 5)^2 - 25 e de y^2 - 8y = (y^2 - 8y + 16) - 16 = (y - 4)^2 - 16 . Completar o quadrado ajuda a transformar a equação na forma padrão do círculo, que é (x - 5)^2 - 25 + (y - 4)^2 - 16 = -41 , onde (x - 5)^2 + (y - 4)^2 - 41 = -41 é o centro e (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 0 é o raio.
Para o :
Para o :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 4

A equação ficou na forma . Isso significa que o raio ao quadrado é 0. Portanto, o raio é 0, e o centro do círculo está no ponto .

Resposta

A equação representa um círculo com centro em e raio igual a .

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