Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Dado um subespaço vetorial qualquer de , o conjunto
é denominado complemento ortogonal de .
(a) Mostre que é também um subespaço vetorial de .

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial sobre os números reais com um produto interno. Tem também um subespaço dentro de . A pergunta quer que a gente mostre que o complemento ortogonal de , denotado por , também é um subespaço vetorial de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três coisas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve estar no subespaço.
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores do subespaço e somar, o resultado também está no subespaço.
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do subespaço por um número real, o resultado também está no subespaço.

Passo 3

Vamos verificar se atende a essas três condições.

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero, , tem a propriedade que para qualquer em . Logo, está em .

Passo 5

2. Fechado na adição:
Pegue dois vetores e em . Isso significa que e para todo em . Agora, vamos ver :
Então, também está em .

Passo 6

3. Fechado na multiplicação por escalar:
Pegue um vetor em e um número real . Queremos ver se está em :
Então, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado na adição e na multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Quais das equações a seguir representam um círculo. Caso seja um círculo, diga quem é o raio e o centro.
(a) ;
Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Quais das equações a seguir representam um círculo. Caso seja um círculo, diga quem é o raio e o centro.
(b) .
Seja um subespaço de .
Determine um conjunto de geradores para .