Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Dado um subespaço vetorial
qualquer de
, o conjunto
é denominado complemento ortogonal de
.
(a) Mostre que
é também um subespaço vetorial de
.
(a) Mostre que
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial
sobre os números reais com um produto interno. Tem também um subespaço
dentro de
. A pergunta quer que a gente mostre que o complemento ortogonal de
, denotado por
, também é um subespaço vetorial de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três coisas:
- Contém o vetor zero: O vetor zero deve estar no subespaço.
- Fechado na adição: Se você pegar dois vetores do subespaço e somar, o resultado também está no subespaço.
- Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do subespaço por um número real, o resultado também está no subespaço.
Passo 3
Vamos verificar se
atende a essas três condições.
Passo 4
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero, , tem a propriedade que
para qualquer
em
. Logo,
está em
.
O vetor zero,
Passo 5
2. Fechado na adição:
Pegue dois vetores e
em
. Isso significa que
e
para todo
em
. Agora, vamos ver
:
Pegue dois vetores
Então,
também está em
.
Passo 6
3. Fechado na multiplicação por escalar:
Pegue um vetor em
e um número real
. Queremos ver se
está em
:
Pegue um vetor
Então,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado na adição e na multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Quais das equações a seguir representam um círculo. Caso seja um círculo, diga quem é o raio e o centro.
(a) ;
(a)
Quais das seguintes estruturas
são espaços vetoriais reais (
representa um conjunto,
e
representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Quais das equações a seguir representam um círculo. Caso seja um círculo, diga quem é o raio e o centro.
(b) .
(b)
Seja
um subespaço de
.
Determine um conjunto de geradores para .
Determine um conjunto de geradores para