Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Dado um subespaço vetorial S qualquer de V, o conjunto
S^perp=z in V midlang<= z, wrang<==0 forall w in S
é denominado complemento ortogonal de S.
(a) Mostre que S^perp é também um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial sobre os números reais com um produto interno. Tem também um subespaço dentro de . A pergunta quer que a gente mostre que o complemento ortogonal de , denotado por , também é um subespaço vetorial de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três coisas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve estar no subespaço.
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores do subespaço e somar, o resultado também está no subespaço.
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do subespaço por um número real, o resultado também está no subespaço.

Passo 3

Vamos verificar se atende a essas três condições.

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero, , tem a propriedade que para qualquer em . Logo, está em .

Passo 5

2. Fechado na adição:
Pegue dois vetores lang<= z1 + z2, w rang<= = lang<= z1, w rang<= + lang<= z2, w rang<= = 0 + 0 = 0 e em . Isso significa que e para todo em . Agora, vamos ver :
Então, também está em .

Passo 6

3. Fechado na multiplicação por escalar:
Pegue um vetor lang<= alpha z, w rang<= = alpha lang<= z, w rang<= = alpha cdot 0 = 0 em e um número real . Queremos ver se está em :
Então, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado na adição e na multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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