lim x 2(x^2-3 x+22 x^2-5 x+2)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites e simplificação de funções racionais. Para resolvê-lo, vamos precisar saber como fatorar polinômios e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite. Substituindo, temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
Obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar a fração, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
  • Fatorando o numerador: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
    Procuramos dois números que multiplicados dão 2x^2 - 5x + 2 = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x(x - 2) -1(x - 2) = (2x - 1)(x - 2) e somados dão . Esses números são e . Portanto:
  • Fatorando o denominador:
    Aqui, multiplicamos o coeficiente de (que é 2) pelo termo constante (2), obtendo 4. Agora, procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x - 1)(x - 2)(2x - 1)(x - 2)
Perceba que o termo x - 12x - 1 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora substituímos 2 - 12 cdot 2 - 1 = 14 - 1 = 13 :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados