O equipamento de ginástica foi projetado com um carrinho leve, que esta montado sobre pequenos rolamentos, de modo que ele se move livremente pela rampa inclinada. Dois cabos estão presos ao carrinho - um para cada mão. Se as mãos estão juntas, de modo que os cabos estão paralelos e se cada cabo está essencialmente em um plano vertical, determine a força P que cada mão deve exercer sobre o seu cabo para manter uma posição de equilíbrio. A massa da pessoa é 70 kg , o ângulo Theta da rampa é 15^circ, e o ângulo beta é 18^circ. Além disso, calcule a força R que a rampa exerce sobre o carrinho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre equilíbrio de forças em um carrinho numa rampa inclinada. Vamos usar conceitos de estática, que é a parte da física que estuda corpos em equilíbrio. Precisamos calcular duas forças: , que cada mão deve exercer nos cabos para manter o carrinho parado, e , a força que a rampa exerce sobre o carrinho. Para isso, vamos analisar as forças atuantes e aplicar as leis de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no carrinho:
  • O peso da pessoa, , onde e ².
  • As duas forças dos cabos, que estão em planos verticais com um ângulo cada.
  • A força de reação da rampa, , que tem componentes perpendicular e paralela à rampa.

Passo 3

Vamos decompor o peso da pessoa em duas componentes:
  • Paralela à rampa: , com .
  • Perpendicular à rampa: .

Passo 4

Agora, analisamos as forças na direção paralela à rampa. Para o carrinho estar em equilíbrio, a soma das forças nessa direção deve ser zero:
2P cdot sin(beta) = Pparal<=l
Ou seja:
2P cdot sin(18^circ) = 70 cdot 9,81 cdot sin(15^circ)

Passo 5

Vamos resolver para 2P = 70 cdot 9,81 cdot sin(15^circ)sin(18^circ) :
P = 70 cdot 9,81 cdot sin(15^circ)2 cdot sin(18^circ)

Passo 6

Calculando os valores:
P = 70 cdot 9,81 cdot 0,25882 cdot 0,3090 approx 70 cdot 9,81 cdot 0,25880,6180
P approx 70 cdot 2,53830,6180 approx 177,6810,6180 approx 287,1 , N

Passo 7

Agora, vamos calcular a força Rperp = 70 cdot 9,81 cdot cos(15^circ) - 2 cdot 287,1 cdot cos(18^circ) que a rampa exerce sobre o carrinho. Essa força tem duas componentes:
  • Perpendicular à rampa: Rperp = 70 cdot 9,81 cdot 0,9659 - 2 cdot 287,1 cdot 0,9511
  • Paralela à rampa: Já equilibrada pelas forças Rperp approx 70 cdot 9,81 cdot 0,9659 approx 70 cdot 9,81 cdot 0,9659 approx 70 cdot 9,481 approx 663,7 , N
Calculando 2 cdot 287,1 cdot 0,9511 approx 574,2 cdot 0,9511 approx 546,3 , N :
Rperp = 663,7 - 546,3 = 117,4 , N

Resposta

Cada mão deve exercer uma força de aproximadamente sobre o cabo, e a força que a rampa exerce sobre o carrinho é de aproximadamente .

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