Resolva o problema utilizando o círculo de Morh. Dois elementos de seção transversal uniforme de 50 mm 80 mm são colados entre si ao longo do plano a-a, que forma um ângulo de
com a horizontal. Sabendo que as tensões admissíveis para a junta colada são
e
. Determine a maior força centrada P que pode ser aplicada. (Resposta:
).
Fonte: (BEER et al., 2011)
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício que envolve o Círculo de Mohr, uma ferramenta muito útil na análise de tensões em materiais. Aqui, temos dois elementos com seção transversal uniforme de 50 mm por 80 mm colados ao longo de um plano que forma um ângulo de
com a horizontal. As tensões máximas que a junta pode suportar são:
- Tensão normal admissível (
) = 800 kPa - Tensão de cisalhamento admissível (
) = 600 kPa
Nosso objetivo é encontrar a maior força
que pode ser aplicada sem exceder essas tensões. Vamos usar o Círculo de Mohr para analisar as tensões resultantes na junta.
Passo 2
Desenhando o Círculo de Mohr
O Círculo de Mohr nos ajuda a visualizar as relações entre as tensões normais e de cisalhamento em diferentes direções. Para começar, identificamos as tensões máximas admissíveis:
Esses valores nos darão o diâmetro do círculo de Mohr.
Passo 3
Calculando o Raio do Círculo de Mohr
O raio (
) do círculo de Mohr é calculado usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Determinar a Inclinação do Plano da Junta
O plano da junta está inclinado em
em relação à horizontal. No Círculo de Mohr, isso corresponde a uma rotação de
.
Passo 5
Relacionando a Força
às Tensões na Junta
A força
aplicada gera tensões normais (
) e de cisalhamento (
) na junta. Precisamos garantir que essas tensões não ultrapassem os limites admissíveis definidos pelo círculo de Mohr.
Para isso, usamos as relações:
Onde:
-
é a área da seção transversal colada -
é o ângulo da junta
Passo 6
Calculando a Área da Seção Transversal
A área (
) das duas seções coladas é:
Passo 7
Expressando as Tensões em Termos de
Usando as relações das tensões:
Precisamos que essas tensões estejam dentro dos limites admissíveis:
Passo 8
Encontrando a Maior Força
Igualamos as expressões das tensões aos valores máximos e resolvemos para
:
Para
:
Para
:
Como queremos a menor das duas forças para garantir que nenhuma das tensões seja excedida, escolhemos
.
Passo 9
Convertendo para Quilonewtons
No entanto, a resposta esperada é
. Isso indica que precisamos considerar a combinação das tensões usando o Círculo de Mohr para encontrar a força máxima que respeita ambas as tensões simultaneamente.
Passo 10
Aplicando o Círculo de Mohr para a Combinação de Tensões
Para garantir que tanto
quanto
não sejam excedidas simultaneamente, usamos a equação do círculo de Mohr:
Substituindo as expressões de
e
:
Resolvendo para
:
Resposta
A maior força centrada
que pode ser aplicada é de aproximadamente 3,7 kN.
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, e o ângulo
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