Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura (
) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia
e terminou 36 horas depois
. Os dados puderam ser aproximados pela função
, em que
indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação
à temperatura (em
) no instante
.
Esboce o gráfico de
.
Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma equipe que mediu a temperatura do solo a cada hora durante 36 horas, e eles conseguiram aproximar esses dados com a função
. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especificamente como a função cosseno se comporta e como podemos transformar ela para se ajustar aos dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Ela é uma função cosseno modificada. Vamos identificar os componentes principais dessa função:
-
Amplitude: O coeficiente que multiplica o cosseno é 6, mas como é negativo, a amplitude é 6. Isso significa que o gráfico vai oscilar 6 unidades acima e abaixo do valor central.
-
Período: O período da função cosseno padrão
é . Quando temos , o período se torna . No nosso caso, , então o período será horas. Isso indica que a temperatura completa um ciclo toda 8 horas. -
Deslocamento Vertical: O número 18 na função representa o deslocamento vertical. Isso significa que o gráfico inteiro da função será movido 18 unidades para cima no eixo das ordenadas.
Passo 3
Agora que entendemos os componentes da função, vamos esboçar o gráfico passo a passo:
-
Valor Central: Começamos com a linha horizontal em
. -
Amplitude: Como a amplitude é 6, o gráfico oscilará entre
e . -
Período: Sabemos que o ciclo completo ocorre a cada 8 horas. Então, de 0 a 8 horas, teremos um ciclo, de 8 a 16 horas, outro ciclo, e assim por diante até 36 horas.
-
Fase de Início: Como não há deslocamento horizontal, o gráfico inicia no ponto máximo quando
, já que , então . No entanto, devido ao sinal negativo na frente do cosseno, o gráfico na verdade começa no mínimo (12°C) e sobe.
Passo 4
Vamos plotar alguns pontos-chave para entender melhor:
-
: -
: -
: -
: -
:
Esses pontos nos mostram que o gráfico completa um ciclo completo de 12 a 24 de volta para 12 em 8 horas.
Passo 5
Com base nesses pontos, vamos desenhar o gráfico:
- No início (
), a temperatura está no mínimo de 12°C. - A temperatura sobe para 18°C em 2 horas.
- Continua subindo até atingir o máximo de 24°C em 4 horas.
- Volta para 18°C em 6 horas.
- Retorna ao mínimo de 12°C em 8 horas.
Esse padrão se repete a cada 8 horas até completar as 36 horas de observação.
Resposta
O gráfico de
para
de 0 a 36 horas é uma onda cossenoidal que oscila entre 12°C e 24°C com um período de 8 horas. Inicia no mínimo de 12°C às 0 horas, atinge o máximo de 24°C às 4 horas, volta a 12°C às 8 horas, e assim por diante até 36 horas. A curva é suave, repetindo esse ciclo a cada 8 horas, centralizada na linha de 18°C.
Aqui está um esboço simplificado do gráfico:
24 | /\ /\ /\
18 |-----------/ \------------/ \------------/ \-----------
12 | / \ / \ / \
------------------------------------------------------
0 8 16 24 32 36
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Um pesquisador, ao realizar um experimento se deparou com um fenômeno modelado pela equação:
entretanto, ele sabia que se o valor
ultrapasse os parâmetros determinados pela função sen
, poderia acontecer um acidente, pois seu experimento ficaria instável. Determine os valores de
que estabilizam o experimento.
Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura (
) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia
e terminou 36 horas depois
. Os dados puderam ser aproximados pela função
, em que
indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação
à temperatura (em
) no instante
.
Determine o domínio e a imagem de .
Determine o domínio e a imagem de
Para todo
, simplifique as expressões
Resolva as inequações: