Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura ( ) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia e terminou 36 horas depois . Os dados puderam ser aproximados pela função , em que indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação à temperatura (em ) no instante .
Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma equipe que mediu a temperatura do solo a cada hora durante 36 horas, e eles conseguiram aproximar esses dados com a função . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especificamente como a função cosseno se comporta e como podemos transformar ela para se ajustar aos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela é uma função cosseno modificada. Vamos identificar os componentes principais dessa função:
  • Amplitude: O coeficiente que multiplica o cosseno é 6, mas como é negativo, a amplitude é 6. Isso significa que o gráfico vai oscilar 6 unidades acima e abaixo do valor central.
  • Período: O período da função cosseno padrão é . Quando temos , o período se torna . No nosso caso, , então o período será horas. Isso indica que a temperatura completa um ciclo toda 8 horas.
  • Deslocamento Vertical: O número 18 na função representa o deslocamento vertical. Isso significa que o gráfico inteiro da função será movido 18 unidades para cima no eixo das ordenadas.

Passo 3

Agora que entendemos os componentes da função, vamos esboçar o gráfico passo a passo:
  1. Valor Central: Começamos com a linha horizontal em .
  2. Amplitude: Como a amplitude é 6, o gráfico oscilará entre e .
  3. Período: Sabemos que o ciclo completo ocorre a cada 8 horas. Então, de 0 a 8 horas, teremos um ciclo, de 8 a 16 horas, outro ciclo, e assim por diante até 36 horas.
  4. Fase de Início: Como não há deslocamento horizontal, o gráfico inicia no ponto máximo quando , já que , então . No entanto, devido ao sinal negativo na frente do cosseno, o gráfico na verdade começa no mínimo (12°C) e sobe.

Passo 4

Vamos plotar alguns pontos-chave para entender melhor:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Esses pontos nos mostram que o gráfico completa um ciclo completo de 12 a 24 de volta para 12 em 8 horas.

Passo 5

Com base nesses pontos, vamos desenhar o gráfico:
  1. No início ( ), a temperatura está no mínimo de 12°C.
  2. A temperatura sobe para 18°C em 2 horas.
  3. Continua subindo até atingir o máximo de 24°C em 4 horas.
  4. Volta para 18°C em 6 horas.
  5. Retorna ao mínimo de 12°C em 8 horas.
Esse padrão se repete a cada 8 horas até completar as 36 horas de observação.

Resposta

O gráfico de para de 0 a 36 horas é uma onda cossenoidal que oscila entre 12°C e 24°C com um período de 8 horas. Inicia no mínimo de 12°C às 0 horas, atinge o máximo de 24°C às 4 horas, volta a 12°C às 8 horas, e assim por diante até 36 horas. A curva é suave, repetindo esse ciclo a cada 8 horas, centralizada na linha de 18°C.
Aqui está um esboço simplificado do gráfico:
24 |             /\              /\              /\
18 |-----------/  \------------/  \------------/  \-----------
12 |         /      \          /      \          /      \
    ------------------------------------------------------
     0      8       16      24      32      36

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Para todo , simplifique as expressões
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