Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura ( em ^circ C ) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia t = 0 e terminou 36 horas depois t = 36. Os dados puderam ser aproximados pela função H(t) = 18 - 6 * cos(pi/4 * t), em que t indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação H(t) à temperatura (em C ) no instante t.
Determine o período da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me contou que tem uma função que aproxima a temperatura do solo ao longo do tempo, dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir o período dessa função. O período é o tempo que leva para a função se repetir, ou seja, quanto tempo passa para a temperatura voltar ao mesmo padrão inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma função cosseno. A forma geral de uma função cosseno é:
Onde:
  • é a média da função (valor central).
  • é a amplitude (quanto a função oscila para cima e para baixo).
  • está relacionado ao período da função.
  • é o deslocamento horizontal (não precisamos nos preocupar com isso agora).
No nosso caso, a função é:
Comparando com a forma geral, temos:
  • (a amplitude é 6, e o sinal negativo indica uma inversão, mas isso não afeta o período)

Passo 3

Agora, para encontrar o período da função, usamos a fórmula que relaciona com o período:
Isso porque o período é o tempo que a função leva para completar um ciclo completo.

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Os se cancelam:

Resposta

O período da função é de 8 horas.

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