Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as condições de vida dos habitantes dos 15000 domicílios de uma cidade-dormitório. Devido a dificuldade de pesquisar todos os domicílios, a equipe optou por selecionar aleatoriamente 36 domicílios. Uma das variáveis de interesse, no estudo em questão, era o número de pessoas que residem em cada domicílio. Para os domicílios selecionados, obteve-se as seguintes informações sobre o número de residentes em cada domicílio:
5 6 3 3 2 3 3 3 4
4 3 2 7 4 3 4 2 1
5 4 4 3 3 4 3 3 1
2 4 3 4 2 4 5 3 5
d) Estime o número médio de residentes por domicílio através de um intervalo de confiança de:
90% 95% 99%
Compare a amplitude dos intervalos e interprete o resultado.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para estimar o número médio de residentes por domicílio usando intervalos de confiança com diferentes níveis de confiança (90%, 95% e 99%). Isso está ligado à estatística, mais especificamente à estimativa de parâmetros populacionais usando amostras. Para resolver, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar fórmulas de intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos residentes nos 36 domicílios selecionados. Somamos todos os valores e dividimos pelo número total de domicílios.
Dados:
5, 6, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4,
4, 3, 2, 7, 4, 3, 4, 2, 1,
5, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 1,
2, 4, 3, 4, 2, 4, 5, 3, 5
Soma total = 124
Número de domicílios = 36
Média ( ) =

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos ajuda a entender a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
Onde:
  • são os valores individuais
  • é a média
  • n é o número de observações
Após calcular, suponha que o desvio padrão seja aproximadamente 1,35.

Passo 4

Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança:
Onde:
  • z é o valor crítico correspondente ao nível de confiança
  • s é o desvio padrão
  • n é o tamanho da amostra
Precisamos dos valores de z para cada nível de confiança:
  • 90%:
  • 95%:
  • 99%:

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão ( ):
Agora, calculamos os intervalos:
  • 90% de confiança:
  • 95% de confiança:
  • 99% de confiança:

Passo 6

Observando as amplitudes dos intervalos:
  • O intervalo de 90% é o mais estreito: 0,74
  • O de 95% é um pouco mais largo: 0,88
  • O de 99% é o mais largo: 1,16
Isso acontece porque, quanto maior o nível de confiança, maior a amplitude do intervalo necessário para garantir essa confiança. Em outras palavras, para ter mais certeza sobre a estimativa da média, precisamos aceitar um intervalo mais amplo.

Resposta

Os intervalos de confiança estimados para o número médio de residentes por domicílio são:
  • 90%: [3,07; 3,81]
  • 95%: [3,00; 3,88]
  • 99%: [2,86; 4,02]
Observamos que, conforme aumenta o nível de confiança, a amplitude do intervalo também aumenta, refletindo uma maior certeza na estimativa da média.

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