Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as condições de vida dos habitantes dos 15000 domicílios de uma cidade-dormitório. Devido a dificuldade de pesquisar todos os domicílios, a equipe optou por selecionar aleatoriamente 36 domicílios. Uma das variáveis de interesse, no estudo em questão, era o número de pessoas que residem em cada domicílio. Para os domicílios selecionados, obteve-se as seguintes informações sobre o número de residentes em cada domicílio:
5 | 6 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 4 | 2 | 1 |
5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 3 | 3 | 1 |
2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 4 | 5 | 3 | 5 |
d) Estime o número médio de residentes por domicílio através de um intervalo de confiança de:
Compare a amplitude dos intervalos e interprete o resultado.
Compare a amplitude dos intervalos e interprete o resultado.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para estimar o número médio de residentes por domicílio usando intervalos de confiança com diferentes níveis de confiança (90%, 95% e 99%). Isso está ligado à estatística, mais especificamente à estimativa de parâmetros populacionais usando amostras. Para resolver, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar fórmulas de intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos residentes nos 36 domicílios selecionados. Somamos todos os valores e dividimos pelo número total de domicílios.
Dados:
5, 6, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4,
4, 3, 2, 7, 4, 3, 4, 2, 1,
5, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 1,
2, 4, 3, 4, 2, 4, 5, 3, 5
5, 6, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4,
4, 3, 2, 7, 4, 3, 4, 2, 1,
5, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 1,
2, 4, 3, 4, 2, 4, 5, 3, 5
Soma total = 124
Número de domicílios = 36
Média ( ) =
Número de domicílios = 36
Média (
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos ajuda a entender a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
Onde:
-
são os valores individuais -
é a média -
é o número de observações
Após calcular, suponha que o desvio padrão seja aproximadamente 1,35.
Passo 4
Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança:
Onde:
-
é o valor crítico correspondente ao nível de confiança -
é o desvio padrão -
é o tamanho da amostra
Precisamos dos valores de
para cada nível de confiança:
- 90%:
- 95%:
- 99%:
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão (
):
Agora, calculamos os intervalos:
-
90% de confiança:
-
95% de confiança:
-
99% de confiança:
Passo 6
Observando as amplitudes dos intervalos:
- O intervalo de 90% é o mais estreito: 0,74
- O de 95% é um pouco mais largo: 0,88
- O de 99% é o mais largo: 1,16
Isso acontece porque, quanto maior o nível de confiança, maior a amplitude do intervalo necessário para garantir essa confiança. Em outras palavras, para ter mais certeza sobre a estimativa da média, precisamos aceitar um intervalo mais amplo.
Resposta
Os intervalos de confiança estimados para o número médio de residentes por domicílio são:
- 90%: [3,07; 3,81]
- 95%: [3,00; 3,88]
- 99%: [2,86; 4,02]
Observamos que, conforme aumenta o nível de confiança, a amplitude do intervalo também aumenta, refletindo uma maior certeza na estimativa da média.