Uma fábrica produz válvulas. Sabe-se que o desvio padrão da duração é de 100 horas. Uma amostra de 400 válvulas apresentou média de 400 horas:
(a) Qual a probabilidade da vida média estar entre 320 e 430 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fábrica que produz válvulas, e a gente sabe que a duração dessas válvulas tem um desvio padrão de 100 horas. Foi feita uma amostra de 400 válvulas e a média dessa amostra foi de 400 horas. O que queremos descobrir aqui é a probabilidade da vida média das válvulas estar entre 320 e 430 horas. Vamos usar conceitos de Estatística, mais especificamente sobre distribuição da média amostral e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição da média amostral. Segundo o Teorema Central do Limite, se a amostra for grande o suficiente (n ≥ 30), a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja. Aqui, nossa amostra é 400, bem maior que 30, então podemos usar a distribuição normal.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (EP) é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o desvio padrão populacional (100 horas)
  • é o tamanho da amostra (400)
Substituindo:

Passo 4

Com o erro padrão em mãos, podemos transformar os valores de 320 e 430 horas em escores z, que nos ajudarão a encontrar as probabilidades na tabela normal padrão. A fórmula para o escore z é:
Onde:
  • é o valor que queremos transformar (320 ou 430)
  • é a média da amostra (400 horas)
  • é o erro padrão (5 horas)
Vamos calcular os dois z:
Para 320 horas:
Para 430 horas:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses escores z na tabela da distribuição normal padrão. No entanto, z = -16 e z = 6 são valores extremamente extremos, que praticamente correspondem a probabilidades de 0 e 1, respectivamente.

Passo 6

Interpretando isso, a probabilidade da vida média das válvulas estar entre 320 e 430 horas é praticamente 100%. Isso faz sentido, já que 320 horas é 80 horas abaixo da média e 430 horas está 30 horas acima, o que estão bem além de vários desvios padrão.

Resposta

A probabilidade da vida média estar entre 320 e 430 horas é praticamente 100%.

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