Uma fábrica produz válvulas. Sabe-se que o desvio padrão da duração é de 100 horas. Uma amostra de 400 válvulas apresentou média de 400 horas:
(g) Supondo-se que são produzidas 50.000 válvulas, qual o intervalo de confiança de para a vida média da população?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Estatística que fala sobre intervalos de confiança. O que a gente precisa saber é como calcular esse intervalo para a vida média das válvulas que a fábrica produz. Para isso, vamos precisar usar a média da amostra, o desvio padrão conhecido e o tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Desvio padrão da população ( ): 100 horas
  • Tamanho da amostra ( ): 400 válvulas
  • Média da amostra ( ): 400 horas
  • Nível de confiança: 96%

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor crítico que corresponde a um intervalo de confiança de 96%. Isso significa que queremos que 96% das vezes, o intervalo que calculamos contenha a verdadeira média da população.
Para encontrar , usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora. Como o intervalo de confiança é de 96%, a área nas duas caudas será de 4% (100% - 96%). Portanto, cada cauda tem 2%.
Usando a tabela, encontramos que .

Passo 4

Em seguida, calculamos o erro padrão da média, que é dado por:
ã

Passo 5

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
ã

Passo 6

Finalmente, determinamos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra:
ç
Isso resulta em:

Resposta

O intervalo de confiança de 96 % para a vida média das válvulas é entre 389,75 horas e 410,25 horas.

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(a) Qual a probabilidade da vida média estar entre 320 e 430 horas?
Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as condições de vida dos habitantes dos 15000 domicílios de uma cidade-dormitório. Devido a dificuldade de pesquisar todos os domicílios, a equipe optou por selecionar aleatoriamente 36 domicílios. Uma das variáveis de interesse, no estudo em questão, era o número de pessoas que residem em cada domicílio. Para os domicílios selecionados, obteve-se as seguintes informações sobre o número de residentes em cada domicílio:
5 6 3 3 2 3 3 3 4
4 3 2 7 4 3 4 2 1
5 4 4 3 3 4 3 3 1
2 4 3 4 2 4 5 3 5
d) Estime o número médio de residentes por domicílio através de um intervalo de confiança de:

Compare a amplitude dos intervalos e interprete o resultado.
Da experiência passada sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças de quinta série do primeiro grau é . Tomando-se uma amostra de 36 dessas crianças, observou-se média de .
© Qual o erro cometido na sua estimativa?
in b) Em cada um dos casos, calcule a probabilidade indicada:
i) ;
ii) ;
iii) , ou ;
iv)