erf(a)=2raizpi integral0^a e^-x^2 d x
Use a quadratura gaussiana com dois pontos para estimar erf(1.5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer calcular a função erro, que é definida por:
erf(a) = 2raizpi integral0^a e^-x^2 , dx
Aqui, queremos estimar erf(1.5) usando a quadratura gaussiana com dois pontos. Isso significa que vamos aproximar a integral usando uma fórmula específica que facilita os cálculos. Vamos precisar entender um pouco sobre quadratura gaussiana e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a quadratura gaussiana. É uma técnica de integração numérica que aproxima o valor de integrais definidas usando uma soma ponderada de valores da função em pontos específicos dentro do intervalo de integração. No caso da quadratura gaussiana com dois pontos, usamos dois pontos e dois pesos para fazer essa aproximação.
A fórmula geral para a quadratura gaussiana de dois pontos no intervalo [-1, 1] é:
integral-1^1 f(t) , dt approx w1 f(t1) + w2 f(t2)
Onde:
  • t1 e t2 são os pontos de avaliação (raízes dos polinômios de Legendre),
  • w1 e w2 são os pesos associados a cada ponto.
Para dois pontos, os valores são:
  • t1 = -1raiz3
  • t2 = 1raiz3
  • w1 = w2 = 1

Passo 3

Agora, nosso intervalo de integração é de 0 a 1.5, mas a fórmula padrão da quadratura gaussiana é para [-1, 1]. Precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar nosso intervalo.
Vamos usar a substituição:
x = b - a2 t + a + b2
Onde a = 0 e b = 1.5. Assim:
x = 1.52 t + 1.52 = 0.75 t + 0.75
E o diferencial dx fica:
dx = 1.52 dt = 0.75 , dt

Passo 4

Aplicando a quadratura gaussiana com essa mudança de variável, a integral fica:
integral0^1.5 e^-x^2 , dx approx b - a2 [ w1 f(x1) + w2 f(x2) ]
Substituindo os valores:
integral0^1.5 e^-x^2 , dx approx 0.75 [ f(0.75 cdot (-1raiz3) + 0.75) + f(0.75 cdot 1raiz3 + 0.75) ]
Simplificando os pontos x1 e x2:
x1 = 0.75 (-1raiz3) + 0.75 = 0.75 (1 - 1raiz3)
x2 = 0.75 (1raiz3) + 0.75 = 0.75 (1 + 1raiz3)

Passo 5

Vamos calcular os valores de x1 e x2 numericamente:
1raiz3 approx 0.57735
Então:
x1 = 0.75 (1 - 0.57735) = 0.75 times 0.42265 approx 0.31699
x2 = 0.75 (1 + 0.57735) = 0.75 times 1.57735 approx 1.18301

Passo 6

Agora, avaliamos a função f(x) = e^-x^2 nesses pontos:
f(x1) = e^-(0.31699)^2 approx e^-0.1003 approx 0.9043
f(x2) = e^-(1.18301)^2 approx e^-1.3994 approx 0.2470

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da quadratura gaussiana:
integral0^1.5 e^-x^2 , dx approx 0.75 [ 1 times 0.9043 + 1 times 0.2470 ] = 0.75 times (0.9043 + 0.2470) = 0.75 times 1.1513 approx 0.8635

Passo 8

Finalmente, lembrando que erf(a) = 2raizpi integral0^a e^-x^2 , dx, substituímos na expressão:
erf(1.5) approx 2raizpi times 0.8635
Calculando numericamente:
raizpi approx 1.7725
Então:
erf(1.5) approx 21.7725 times 0.8635 approx 1.129 times 0.8635 approx 0.975

Resposta

A estimativa de erf(1.5) usando a quadratura gaussiana com dois pontos é aproximadamente 0,975.

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