Use a quadratura gaussiana com dois pontos para estimar erf(1.5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer calcular a função erro, que é definida por:
Aqui, queremos estimar usando a quadratura gaussiana com dois pontos. Isso significa que vamos aproximar a integral usando uma fórmula específica que facilita os cálculos. Vamos precisar entender um pouco sobre quadratura gaussiana e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a quadratura gaussiana. É uma técnica de integração numérica que aproxima o valor de integrais definidas usando uma soma ponderada de valores da função em pontos específicos dentro do intervalo de integração. No caso da quadratura gaussiana com dois pontos, usamos dois pontos e dois pesos para fazer essa aproximação.
A fórmula geral para a quadratura gaussiana de dois pontos no intervalo é:
Onde:
  • e são os pontos de avaliação (raízes dos polinômios de Legendre),
  • e são os pesos associados a cada ponto.
Para dois pontos, os valores são:

Passo 3

Agora, nosso intervalo de integração é de a , mas a fórmula padrão da quadratura gaussiana é para . Precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar nosso intervalo.
Vamos usar a substituição:
Onde e . Assim:
E o diferencial fica:

Passo 4

Aplicando a quadratura gaussiana com essa mudança de variável, a integral fica:
Substituindo os valores:
Simplificando os pontos e :

Passo 5

Vamos calcular os valores de e numericamente:
Então:

Passo 6

Agora, avaliamos a função nesses pontos:

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da quadratura gaussiana:

Passo 8

Finalmente, lembrando que , substituímos na expressão:
Calculando numericamente:
Então:

Resposta

A estimativa de usando a quadratura gaussiana com dois pontos é aproximadamente 0,975.

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