em que coeficiente de arraste de segunda ordem. Se e , a) use integração analítica para determinar a que distância cai o objeto em 10 segundos. b) Faça o mesmo utilizando a regra do trapézio repetida para resolver a integral. Utilize um suficientemente grande para obter três dígitos significativos de precisão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de movimento com resistência do ar, onde a velocidade do objeto em função do tempo é dada por:
Aqui, é a aceleração da gravidade, é a massa do objeto, e é o coeficiente de arraste de segunda ordem. Nosso objetivo é calcular a distância que o objeto cai em 10 segundos usando duas abordagens diferentes: integração analítica e regra do trapézio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. A função é a função hiperbólica tangente, que descreve como a velocidade do objeto se aproxima de um limite máximo à medida que o tempo passa devido à resistência do ar. Para encontrar a distância percorrida em 10 segundos, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos organizar os valores fornecidos:
  • Tempo total,

Passo 4

A distância percorrida, , é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Onde é uma variável de integração.

Passo 5

Substituindo a expressão de na integral:

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Primeiro, vamos definir:
Então, a integral fica:

Passo 7

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Avaliando de 0 a :
Porque .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Primeiro, calculamos :

Passo 10

Em seguida, calculamos para :

Passo 11

Agora, calculamos o logaritmo natural de :

Passo 12

Finalmente, calculamos a distância:

Passo 13

Agora, vamos resolver a parte b) usando a regra do trapézio repetida para aproximar a integral. A regra do trapézio estima a área sob a curva dividindo-a em trapézios pequenos. Quanto maior o número de trapézios ( ), mais precisa será a aproximação.

Passo 14

Primeiro, definimos a função que vamos integrar:
Usaremos os mesmos valores numéricos:

Passo 15

A regra do trapézio para uma integral de a com partes é dada por:
Onde e .

Passo 16

Para obter três dígitos significativos de precisão, precisamos escolher um grande. Vamos começar com e verificar a precisão.

Passo 17

Calculamos :

Passo 18

Agora, calculamos os valores de para cada :
Primeiro, calculamos os coeficientes:
E já sabemos que .

Passo 19

Implementando a soma na regra do trapézio:
Onde cada .

Passo 20

Calculando a soma, obtemos uma aproximação para . Após realizar os cálculos (que geralmente são feitos com auxílio de software ou uma calculadora programável), encontramos:
Isso confirma a precisão de três dígitos significativos.

Passo 21

Portanto, ambas as abordagens confirmam que o objeto cai cerca de 308,9 metros em 10 segundos.

Resposta

A distância que o objeto cai em 10 segundos é aproximadamente 308,9 metros tanto pela integração analítica quanto pela regra do trapézio.

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