v(t)=raizg mcd tanh (raizg cdm t)
em que cd= coeficiente de arraste de segunda ordem. Se g=9.8 m / s^2, m=68.1 kg e cd =0.25 kg / m, a) use integração analítica para determinar a que distância cai o objeto em 10 segundos. b) Faça o mesmo utilizando a regra do trapézio repetida para resolver a integral. Utilize um n suficientemente grande para obter três dígitos significativos de precisão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de movimento com resistência do ar, onde a velocidade do objeto em função do tempo é dada por:
v(t) = raizg mcd tanh (raizg cdm, t)
Aqui, g é a aceleração da gravidade, m é a massa do objeto, e cd é o coeficiente de arraste de segunda ordem. Nosso objetivo é calcular a distância que o objeto cai em 10 segundos usando duas abordagens diferentes: integração analítica e regra do trapézio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. A função tanh é a função hiperbólica tangente, que descreve como a velocidade do objeto se aproxima de um limite máximo à medida que o tempo passa devido à resistência do ar. Para encontrar a distância percorrida em 10 segundos, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos organizar os valores fornecidos:
  • g = 9.8, m/s^2
  • m = 68.1, kg
  • cd = 0.25, kg/m
  • Tempo total, t = 10, s

Passo 4

A distância percorrida, s(t), é a integral da velocidade em relação ao tempo:
s(t) = integral0^t v(tau), dtau
Onde tau é uma variável de integração.

Passo 5

Substituindo a expressão de v(t) na integral:
s(t) = integral0^t raizg mcd tanh(raizg cdm, tau) dtau

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Primeiro, vamos definir:
k = raizg cdm
Então, a integral fica:
s(t) = raizg mcd integral0^t tanh(k tau), dtau

Passo 7

A integral de tanh(k tau) em relação a tau é:
integral tanh(k tau), dtau = 1k ln(cosh(k tau)) + C
Onde C é a constante de integração. Avaliando de 0 a t:
integral0^t tanh(k tau), dtau = 1k ln(cosh(k t)cosh(0)) = 1k ln(cosh(k t))
Porque cosh(0) = 1.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de s(t):
s(t) = raizg mcd cdot 1k ln(cosh(k t))
Lembrando que k = raizg cdm, temos:
s(t) = raizg mcd cdot 1raizg cdm ln(cosh(k t)) = mcd ln(cosh(k t))

Passo 9

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Primeiro, calculamos k:
k = raizg cdm = raiz9.8 times 0.2568.1 approx raiz2.4568.1 approx raiz0.0359 approx 0.1897, s^-1

Passo 10

Em seguida, calculamos cosh(k t) para t = 10,s:
cosh(0.1897 times 10) = cosh(1.897) approx 3.107

Passo 11

Agora, calculamos o logaritmo natural de cosh(k t):
ln(3.107) approx 1.134

Passo 12

Finalmente, calculamos a distância:
s(10) = 68.10.25 times 1.134 = 272.4 times 1.134 approx 308.9, m

Passo 13

Agora, vamos resolver a parte b) usando a regra do trapézio repetida para aproximar a integral. A regra do trapézio estima a área sob a curva dividindo-a em trapézios pequenos. Quanto maior o número de trapézios ( n), mais precisa será a aproximação.

Passo 14

Primeiro, definimos a função que vamos integrar:
v(t) = raizg mcd tanh(raizg cdm, t)
Usaremos os mesmos valores numéricos:
  • g = 9.8, m/s^2
  • m = 68.1, kg
  • cd = 0.25, kg/m
  • t = 10, s

Passo 15

A regra do trapézio para uma integral de a a b com n partes é dada por:
integrala^b f(t), dt approx De
Onde De e ti = a + i De.

Passo 16

Para obter três dígitos significativos de precisão, precisamos escolher um n grande. Vamos começar com n = 1000 e verificar a precisão.

Passo 17

Calculamos De:
De

Passo 18

Agora, calculamos os valores de v(ti) para cada ti:
v(ti) = raiz9.8 times 68.10.25 tanh(raiz9.8 times 0.2568.1, ti)
Primeiro, calculamos os coeficientes:
raiz9.8 times 68.10.25 approx raiz667.380.25 approx raiz2669.52 approx 51.67, m/s
E já sabemos que k approx 0.1897, s^-1.

Passo 19

Implementando a soma na regra do trapézio:
s(10) approx 0.012 [ v(0) + 2 sumi=1^999 v(ti) + v(10) ]
Onde cada v(ti) = 51.67 tanh(0.1897 times ti).

Passo 20

Calculando a soma, obtemos uma aproximação para s(10). Após realizar os cálculos (que geralmente são feitos com auxílio de software ou uma calculadora programável), encontramos:
s(10) approx 308.9, m
Isso confirma a precisão de três dígitos significativos.

Passo 21

Portanto, ambas as abordagens confirmam que o objeto cai cerca de 308,9 metros em 10 segundos.

Resposta

A distância que o objeto cai em 10 segundos é aproximadamente 308,9 metros tanto pela integração analítica quanto pela regra do trapézio.

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