em que
coeficiente de arraste de segunda ordem. Se
e
, a) use integração analítica para determinar a que distância cai o objeto em 10 segundos. b) Faça o mesmo utilizando a regra do trapézio repetida para resolver a integral. Utilize um
suficientemente grande para obter três dígitos significativos de precisão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de movimento com resistência do ar, onde a velocidade do objeto em função do tempo é dada por:
Aqui,
é a aceleração da gravidade,
é a massa do objeto, e
é o coeficiente de arraste de segunda ordem. Nosso objetivo é calcular a distância que o objeto cai em 10 segundos usando duas abordagens diferentes: integração analítica e regra do trapézio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. A função
é a função hiperbólica tangente, que descreve como a velocidade do objeto se aproxima de um limite máximo à medida que o tempo passa devido à resistência do ar. Para encontrar a distância percorrida em 10 segundos, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos organizar os valores fornecidos:
-
-
-
- Tempo total,
Passo 4
A distância percorrida,
, é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Onde
é uma variável de integração.
Passo 5
Substituindo a expressão de
na integral:
Passo 6
Vamos simplificar a integral. Primeiro, vamos definir:
Então, a integral fica:
Passo 7
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Avaliando de 0 a
:
Porque
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Primeiro, calculamos
:
Passo 10
Em seguida, calculamos
para
:
Passo 11
Agora, calculamos o logaritmo natural de
:
Passo 12
Finalmente, calculamos a distância:
Passo 13
Agora, vamos resolver a parte b) usando a regra do trapézio repetida para aproximar a integral. A regra do trapézio estima a área sob a curva dividindo-a em trapézios pequenos. Quanto maior o número de trapézios (
), mais precisa será a aproximação.
Passo 14
Primeiro, definimos a função que vamos integrar:
Usaremos os mesmos valores numéricos:
Passo 15
A regra do trapézio para uma integral de
a
com
partes é dada por:
Onde
e
.
Passo 16
Para obter três dígitos significativos de precisão, precisamos escolher um
grande. Vamos começar com
e verificar a precisão.
Passo 17
Calculamos
:
Passo 18
Agora, calculamos os valores de
para cada
:
Primeiro, calculamos os coeficientes:
E já sabemos que
.
Passo 19
Implementando a soma na regra do trapézio:
Onde cada
.
Passo 20
Calculando a soma, obtemos uma aproximação para
. Após realizar os cálculos (que geralmente são feitos com auxílio de software ou uma calculadora programável), encontramos:
Isso confirma a precisão de três dígitos significativos.
Passo 21
Portanto, ambas as abordagens confirmam que o objeto cai cerca de 308,9 metros em 10 segundos.
Resposta
A distância que o objeto cai em 10 segundos é aproximadamente 308,9 metros tanto pela integração analítica quanto pela regra do trapézio.
Exercícios relacionados
a) Interpolar entre
e
.
b) Interpolar entre e
.
c) Interpolar com e 11 .
d) Interpolar com .
b) Interpolar entre
c) Interpolar com
d) Interpolar com
Em seguida, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para determinar que a matriz [A] é obtida. b) Use a fatoração LU para resolver o sistema.
em que
é o trabalho,
é a pressão, e
é o volume. Usando uma combinação da regra dos trapézios,
de Simpson, e
de Simpson, utilize os seguintes dados para calcular o trabalho em
:
Presión
|
336 | 294.4 | 266.4 | 260.8 | 260.5 | 249.6 | 193.6 | 165.6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Volumen
|
0.5 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 11 |
Use a quadratura gaussiana com dois pontos para estimar erf(1.5).