em que
é o trabalho,
é a pressão, e
é o volume. Usando uma combinação da regra dos trapézios,
de Simpson, e
de Simpson, utilize os seguintes dados para calcular o trabalho em
:
Presión
|
336 | 294.4 | 266.4 | 260.8 | 260.5 | 249.6 | 193.6 | 165.6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Volumen
|
0.5 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 11 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho
utilizando a integral
, onde
é a pressão e
é o volume. A ideia aqui é encontrar a área sob a curva que relaciona a pressão com o volume, basicamente somando pequenas parcelas de trabalho realizadas em cada intervalo de volume. Para isso, vamos usar métodos de integração numérica: a regra dos trapézios, a regra de Simpson
e a regra de Simpson
. Precisaremos organizar os dados de pressão e volume e aplicar cada uma dessas regras de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados fornecidos:
Pressão
|
336 | 294.4 | 266.4 | 260.8 | 260.5 | 249.6 | 193.6 | 165.6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Volume
|
0.5 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 11 |
Observamos que os intervalos de volume não são igualmente espaçados, o que é importante para aplicar as regras de Simpson. Por isso, vamos identificar onde podemos aplicar cada regra:
- Regra dos Trapézios: Pode ser usada em qualquer intervalo, não requer espaçamento igual.
- Regra de Simpson
: Requer que o número de subintervalos seja par e que os intervalos sejam igualmente espaçados. - Regra de Simpson
: Requer que o número de subintervalos seja múltiplo de 3 e que os intervalos sejam igualmente espaçados.
Vamos analisar os intervalos de volume para ver onde cada regra pode ser aplicada.
Passo 3
Analisando os volumes:
- De 0.5 a 2: intervalo de 1.5 m³
- De 2 a 3: intervalo de 1 m³
- De 3 a 4: intervalo de 1 m³
- De 4 a 6: intervalo de 2 m³
- De 6 a 8: intervalo de 2 m³
- De 8 a 10: intervalo de 2 m³
- De 10 a 11: intervalo de 1 m³
Vamos identificar segmentos com espaçamento igual:
- Primeiro segmento: 0.5 a 2 (1.5 m³) – único intervalo, usaremos a regra dos trapézios.
- Segundo segmento: 2 a 4 (1 m³ entre 2-3 e 3-4) – dois intervalos igualmente espaçados, podemos aplicar a regra de Simpson
. - Terceiro segmento: 4 a 10 (intervalos de 2 m³: 4-6, 6-8, 8-10) – três intervalos igualmente espaçados, podemos usar a regra de Simpson
. - Último segmento: 10 a 11 (1 m³) – único intervalo, usaremos novamente a regra dos trapézios.
Passo 4
Vamos calcular o trabalho para cada segmento:
- Segmento 0.5 a 2 m³ (Regra dos Trapézios)
A fórmula da regra dos trapézios é:
Onde
m³,
kPa e
kPa.
- Segmento 2 a 4 m³ (Regra de Simpson
)
A fórmula da regra de Simpson
é:
Aqui,
m³ (espaço entre cada ponto),
kPa,
kPa e
kPa.
- Segmento 4 a 10 m³ (Regra de Simpson
)
A fórmula da regra de Simpson
é:
Aqui, temos três intervalos iguais de
m³, com pressões
kPa,
kPa,
kPa e
kPa.
- Segmento 10 a 11 m³ (Regra dos Trapézios)
Usamos novamente a regra dos trapézios:
Onde
m³,
kPa e
kPa.
Resposta
Somando todos os trabalhos calculados nos segmentos:
Portanto, o trabalho realizado é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
em que
coeficiente de arraste de segunda ordem. Se
e
, a) use integração analítica para determinar a que distância cai o objeto em 10 segundos. b) Faça o mesmo utilizando a regra do trapézio repetida para resolver a integral. Utilize um
suficientemente grande para obter três dígitos significativos de precisão.
a) Interpolar entre
e
.
b) Interpolar entre e
.
c) Interpolar com e 11 .
d) Interpolar com .
b) Interpolar entre
c) Interpolar com
d) Interpolar com
Use a quadratura gaussiana com dois pontos para estimar erf(1.5).
|
10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
25 | 70 | 380 | 550 | 610 | 1220 | 830 | 1450 |
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com a) uma linha reta, b) uma equação de força com base em transformação log e c) um modelo de força com base em regressão não linear.