W=integral p d V
em que W é o trabalho, p é a pressão, e V é o volume. Usando uma combinação da regra dos trapézios, 1 / 3 de Simpson, e 3 / 8 de Simpson, utilize os seguintes dados para calcular o trabalho em kJ(kJ=kN m) :
Presión (kPa) 336 294.4 266.4 260.8 260.5 249.6 193.6 165.6
Volumen (m^3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho utilizando a integral , onde é a pressão e é o volume. A ideia aqui é encontrar a área sob a curva que relaciona a pressão com o volume, basicamente somando pequenas parcelas de trabalho realizadas em cada intervalo de volume. Para isso, vamos usar métodos de integração numérica: a regra dos trapézios, a regra de Simpson e a regra de Simpson . Precisaremos organizar os dados de pressão e volume e aplicar cada uma dessas regras de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados fornecidos:
Pressão (kPa) 336 294.4 266.4 260.8 260.5 249.6 193.6 165.6
Volume (m³) 0.5 2 3 4 6 8 10 11
Observamos que os intervalos de volume não são igualmente espaçados, o que é importante para aplicar as regras de Simpson. Por isso, vamos identificar onde podemos aplicar cada regra:
  • Regra dos Trapézios: Pode ser usada em qualquer intervalo, não requer espaçamento igual.
  • Regra de Simpson : Requer que o número de subintervalos seja par e que os intervalos sejam igualmente espaçados.
  • Regra de Simpson : Requer que o número de subintervalos seja múltiplo de 3 e que os intervalos sejam igualmente espaçados.
Vamos analisar os intervalos de volume para ver onde cada regra pode ser aplicada.

Passo 3

Analisando os volumes:
  • De 0.5 a 2: intervalo de 1.5 m³
  • De 2 a 3: intervalo de 1 m³
  • De 3 a 4: intervalo de 1 m³
  • De 4 a 6: intervalo de 2 m³
  • De 6 a 8: intervalo de 2 m³
  • De 8 a 10: intervalo de 2 m³
  • De 10 a 11: intervalo de 1 m³
Vamos identificar segmentos com espaçamento igual:
  1. Primeiro segmento: 0.5 a 2 (1.5 m³) – único intervalo, usaremos a regra dos trapézios.
  2. Segundo segmento: 2 a 4 (1 m³ entre 2-3 e 3-4) – dois intervalos igualmente espaçados, podemos aplicar a regra de Simpson .
  3. Terceiro segmento: 4 a 10 (intervalos de 2 m³: 4-6, 6-8, 8-10) – três intervalos igualmente espaçados, podemos usar a regra de Simpson .
  4. Último segmento: 10 a 11 (1 m³) – único intervalo, usaremos novamente a regra dos trapézios.

Passo 4

Vamos calcular o trabalho para cada segmento:
  1. Segmento 0.5 a 2 m³ (Regra dos Trapézios)
A fórmula da regra dos trapézios é:
W = De
Onde W = 1.52 (336 + 294.4) = 0.75 times 630.4 = 472.8 , kJ m³, W = De kPa e W = 13 ( 294.4 + 4 times 266.4 + 260.8 ) = 13 (294.4 + 1065.6 + 260.8) = 13 (1620.8) = 540.27 , kJ kPa.
W = 3De
  1. Segmento 2 a 4 m³ (Regra de Simpson W = 3 times 28 ( 260.8 + 3 times 260.5 + 3 times 249.6 + 193.6 ) = 68 (260.8 + 781.5 + 748.8 + 193.6) )
A fórmula da regra de Simpson = 0.75 times (1984.7) = 1488.525 , kJ é:
W = De
Aqui, W = 12 (193.6 + 165.6) = 0.5 times 359.2 = 179.6 , kJ m³ (espaço entre cada ponto), kPa, kPa e kPa.
  1. Segmento 4 a 10 m³ (Regra de Simpson )
A fórmula da regra de Simpson é:
Aqui, temos três intervalos iguais de m³, com pressões kPa, kPa, kPa e kPa.
  1. Segmento 10 a 11 m³ (Regra dos Trapézios)
Usamos novamente a regra dos trapézios:
Onde m³, kPa e kPa.

Resposta

Somando todos os trabalhos calculados nos segmentos:
Wtotal = 472.8 + 540.27 + 1488.525 + 179.6 = 26781.195 , kJ
Portanto, o trabalho realizado é aproximadamente .

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