Erica tem uma moeda que tem uma probabilidade de
de dar cara cada vez que é jogada. Ela vai jogar a moeda
vezes. Seja
a variável aleatória que representa o número de caras que ela consegue. Qual é a probabilidade de ela obter exatamente
caras?
Passo 1
Vamos lá! A Ericka tem uma moeda que dá cara com 60% de chance cada vez que ela joga. Ela vai jogar essa moeda 5 vezes. Queremos descobrir qual é a probabilidade dela conseguir exatamente 3 caras. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é muito útil quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa tem dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (cara) é constante em cada jogada.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
Onde:
- $ C(n, k) $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ (1 - p) $ é a probabilidade de falha em uma única tentativa.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos no problema:
- Número de tentativas ($ n $): 5
- Número de sucessos que queremos ($ k $): 3
- Probabilidade de sucesso ($ p $): 60%, ou 0,6
- Probabilidade de falha ($ 1 - p $): 40%, ou 0,4
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ C(5, 3) $. Esse coeficiente nos dá o número de maneiras diferentes de obter 3 caras em 5 jogadas.
Então, há 10 maneiras diferentes de conseguir 3 caras em 5 jogadas.
Passo 5
Agora, aplicamos esses valores na fórmula da distribuição binomial:
Vamos calcular cada parte:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade da Ericka obter exatamente 3 caras em 5 jogadas é de 34,56%.