Erica tem uma moeda que tem uma probabilidade de 60% de dar cara cada vez que é jogada. Ela vai jogar a moeda 5 vezes. Seja x a variável aleatória que representa o número de caras que ela consegue. Qual é a probabilidade de ela obter exatamente 3 caras?

Passo 1

Vamos lá! A Ericka tem uma moeda que dá cara com 60% de chance cada vez que ela joga. Ela vai jogar essa moeda 5 vezes. Queremos descobrir qual é a probabilidade dela conseguir exatamente 3 caras. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é muito útil quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa tem dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (cara) é constante em cada jogada.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de falha em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no problema:
  • Número de tentativas ($ n $): 5
  • Número de sucessos que queremos ($ k $): 3
  • Probabilidade de sucesso ($ p $): 60%, ou 0,6
  • Probabilidade de falha ($ 1 - p $): 40%, ou 0,4

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ C(5, 3) $. Esse coeficiente nos dá o número de maneiras diferentes de obter 3 caras em 5 jogadas.
C(5, 3)
Então, há 10 maneiras diferentes de conseguir 3 caras em 5 jogadas.

Passo 5

Agora, aplicamos esses valores na fórmula da distribuição binomial:
P(X = 3) = 10 times (0,6)^3 times (0,4)^5 - 3
Vamos calcular cada parte:
(0,6)^3 = 0,216
(0,4)^2 = 0,16
Multiplicando tudo:
P(X = 3) = 10 times 0,216 times 0,16 = 10 times 0,03456 = 0,3456

Resposta

A probabilidade da Ericka obter exatamente 3 caras em 5 jogadas é de 34,56%.

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