O que está errado com o seguinte cálculo:
0 & =0+0+0+cdots & =(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots & =1-1+1-1+1-1+cdots & =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+cdots & =1+0+0+0+cdots & =1

Passo 1

Beleza, então temos aqui um cálculo que tenta mostrar que , usando uma série infinita de zeros e uns. A matéria envolvida é séries infinitas, e para resolver, vamos precisar entender como somar esses termos e os cuidados que devemos ter com elas.

Passo 2

Primeiro, olhe a primeira linha:
0 = 0 + 0 + 0 + cdots
Isso está certo, porque somar zeros infinitamente continua dando zero.

Passo 3

Na segunda linha, cada zero foi reescrito como 0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + cdots :
Funciona, já que .

Passo 4

Aí, na terceira linha, os parênteses são removidos e a soma fica alternando entre 1 e -1:
0 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + cdots
Isso cria uma série onde os termos se anulam mutuamente.

Passo 5

Depois, tenta-se agrupar os termos assim:
0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + cdots
Cada par 0 = 1 + 0 + 0 + 0 + cdots dá zero, então fica:

Passo 6

Finalmente, isso leva a:
0 = 1
O que, claro, não faz sentido porque zero não é igual a um.

Passo 7

O erro aqui está na maneira de agrupar os termos da série infinita. Em séries infinitas, você não pode simplesmente reordenar ou agrupar os termos como faz com somas finitas, porque isso pode mudar o resultado ou levar a conclusões incorretas. A série na verdade não converge de maneira tradicional, ou seja, não tem um valor fixo que ela se aproxima.

Resposta

O erro está em agrupar os termos da série infinita de forma que resulte em . Em séries infinitas, reordenar ou agrupar os termos pode alterar o resultado ou torná-lo inválido, portanto, essa manipulação não é correta.

Exercícios relacionados

Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
sumn=1^infty(-1)^n-1 2 n^24 n^2+1
Suponha que a concentração C em mg/lde um medica- mento na corrente sanguínea de um paciente seja modelada pela função C(x, t) = 0.2 x (e^(-0.2 t) - e^(-t)), em que x é a dosagem do medicamento em mg e t é o número de horas desde o início da medicação.
9. (a) Dê uma estimativa do valor de C(25,3) com duas casas decimais. Inclua unidades apropriadas e interprete sua resposta em um contexto físico.
Use o teste da comparação para mostrar se as séries abaixo convergem ou divergem:
d) sumn=1^infty 1n-raizn
Seja f(x, y, z) = z x y + x. Determine
(a) f(x+y, x-y, x^2)