O que está errado com o seguinte cálculo:
0 & =0+0+0+cdots & =(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots & =1-1+1-1+1-1+cdots & =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+cdots & =1+0+0+0+cdots & =1

Passo 1

Beleza, então temos aqui um cálculo que tenta mostrar que , usando uma série infinita de zeros e uns. A matéria envolvida é séries infinitas, e para resolver, vamos precisar entender como somar esses termos e os cuidados que devemos ter com elas.

Passo 2

Primeiro, olhe a primeira linha:
0 = 0 + 0 + 0 + cdots
Isso está certo, porque somar zeros infinitamente continua dando zero.

Passo 3

Na segunda linha, cada zero foi reescrito como 0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + cdots :
Funciona, já que .

Passo 4

Aí, na terceira linha, os parênteses são removidos e a soma fica alternando entre 1 e -1:
0 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + cdots
Isso cria uma série onde os termos se anulam mutuamente.

Passo 5

Depois, tenta-se agrupar os termos assim:
0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + cdots
Cada par 0 = 1 + 0 + 0 + 0 + cdots dá zero, então fica:

Passo 6

Finalmente, isso leva a:
0 = 1
O que, claro, não faz sentido porque zero não é igual a um.

Passo 7

O erro aqui está na maneira de agrupar os termos da série infinita. Em séries infinitas, você não pode simplesmente reordenar ou agrupar os termos como faz com somas finitas, porque isso pode mudar o resultado ou levar a conclusões incorretas. A série na verdade não converge de maneira tradicional, ou seja, não tem um valor fixo que ela se aproxima.

Resposta

O erro está em agrupar os termos da série infinita de forma que resulte em . Em séries infinitas, reordenar ou agrupar os termos pode alterar o resultado ou torná-lo inválido, portanto, essa manipulação não é correta.

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