Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
Passo 1
Beleza, temos uma série alternada aqui:
. Nosso objetivo é usar o teste da série alternada para decidir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar verificar duas coisas: se os termos positivos
tendem a zero quando
cresce e se esses termos estão diminuindo à medida que
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite dos termos positivos quando
tende ao infinito. Calculamos:
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por
:
Esse limite não é zero, o que é uma condição essencial para o teste da série alternada.
Passo 3
Como o limite dos termos positivos não é zero (
), a série não pode convergir pelo teste da série alternada. Na verdade, se o limite dos termos não for zero, a série diverge independentemente de outros fatores.
Resposta
A série
diverge porque o limite dos termos positivos não é zero.