Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou. A gente precisa reduzir a equação
para a forma mais simples usando translação e rotação. Isso envolve trabalhar com equações quadráticas e aplicar transformações para simplificar a expressão. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra linear, especificamente matrizes para rotação, e entender como fazer mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos quadráticos, lineares e constantes:
Passo 3
O próximo passo é completar o quadrado para eliminar os termos lineares (-2x e -10y). Mas antes disso, vamos focar na parte quadrática. Precisamos eliminar o termo cruzado
usando uma rotação de coordenadas.
Passo 4
Para eliminar o termo
, calculamos o ângulo de rotação
que satisfaz a condição:
Onde
,
, e
(coeficientes dos termos quadráticos).
Substituindo:
Então:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, aplicamos a rotação nas coordenadas usando o ângulo
. As novas coordenadas
são dadas por:
Passo 7
Substituindo
e
na equação original e simplificando, eliminamos o termo
, obtendo uma equação sem termo cruzado.
Passo 8
Após simplificar, a equação reduzida fica na forma:
Onde os coeficientes são ajustados conforme a rotação aplicada.
Resposta
Após realizar a translação e rotação, a equação reduzida à forma mais simples é:
O ângulo de rotação necessário para eliminar o termo
é aproximadamente
.