Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação. 2 x^2-12 x y+7 y^2-4 x-8 y+14=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente simplificar a equação quadrática usando translação e rotação. A matéria aqui envolve álgebra de segundo grau e geometria analítica. Vamos precisar usar fórmulas de rotação de eixos para eliminar o termo e achar o ângulo de rotação necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral de segundo grau: . No nosso caso, temos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o ângulo tan(2theta) = BA - C que vai nos ajudar a eliminar o termo tan(2theta) = -122 - 7 = -12-5 = 125 através da rotação dos eixos. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular 2theta = arctan(125) a partir de 2theta approx 67,38^circ . Primeiro, encontramos theta approx 33,69^circ :
Usando uma calculadora, temos:
Então, dividindo por 2:

Passo 5

Com o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta encontrado, agora vamos fazer a substituição das variáveis para os novos eixos e :
Essa mudança de coordenadas vai eliminar o termo na nova equação.

Passo 6

Após substituir e na equação original e simplificar, a equação transformada fica sem o termo e com valores ajustados para os novos termos quadráticos, lineares e o termo constante. O processo envolve expandir e coletar termos semelhantes, mas o importante é que conseguimos eliminar o termo cruzado.

Resposta

A equação reduzida na forma mais simples após a translação e rotação é:
7.8x'^2 + 4.6y'^2 + (termos lineares e constantes) = 0
O ângulo de rotação necessário para realizar essa simplificação é aproximadamente .

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