Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente simplificar a equação quadrática
usando translação e rotação. A matéria aqui envolve álgebra de segundo grau e geometria analítica. Vamos precisar usar fórmulas de rotação de eixos para eliminar o termo
e achar o ângulo de rotação necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral de segundo grau:
. No nosso caso, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o ângulo
que vai nos ajudar a eliminar o termo
através da rotação dos eixos. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular
a partir de
. Primeiro, encontramos
:
Usando uma calculadora, temos:
Então, dividindo por 2:
Passo 5
Com o ângulo de rotação
encontrado, agora vamos fazer a substituição das variáveis para os novos eixos
e
:
Essa mudança de coordenadas vai eliminar o termo
na nova equação.
Passo 6
Após substituir
e
na equação original e simplificar, a equação transformada fica sem o termo
e com valores ajustados para os novos termos quadráticos, lineares e o termo constante. O processo envolve expandir e coletar termos semelhantes, mas o importante é que conseguimos eliminar o termo cruzado.
Resposta
A equação reduzida na forma mais simples após a translação e rotação é:
O ângulo de rotação necessário para realizar essa simplificação é aproximadamente
.