Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
x = t + 1, y = t^2 + 4, z = 2, -infinito < t < +infinito

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma curva definida por um ponto que se move, , enquanto o parâmetro varia de a . Para isso, vamos determinar a equação cartesiana da curva usando as equações paramétricas fornecidas:
Vamos precisar usar conceitos de matemática sobre equações paramétricas e como transformá-las em uma equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação paramétrica. Aqui, e são expressos em função de , que é o parâmetro. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e , ou seja, uma equação do tipo .

Passo 3

Vamos começar isolando o parâmetro na equação de :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Isso simplifica a relação entre e .

Passo 4

Vamos expandir a expressão para simplificar a equação:
Agora, temos uma expressão mais simples para a relação entre e .

Passo 5

A equação que encontramos, , é uma parábola. Isso nos ajuda a esboçar o gráfico da curva. Além disso, notamos que , o que significa que a curva está localizada no plano no espaço tridimensional.

Resposta

A equação cartesiana da curva é , que representa uma parábola no plano .

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Utilizando integral dupla, calcule a área da região delimitada pelas curvas x^2 + 2y = 16 e x + 2y = 4.
Resolve as seguintes edo yx cos (yx)-(xy sen(yx)+cos (yx)) y^prime=0
Defina os limites de integração para a integral integral duplaD f(x, y) d A, sendo D a região do plano x y limitada pelas curvas y=0 e y=1-x^2.
Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
x = 2 + 4 sen(t), y = 3 - 2 cos(t), 0 <= t <= 2 pi