Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel , quando o parâmetro varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma curva definida por um ponto que se move, , enquanto o parâmetro varia de a . Para isso, vamos determinar a equação cartesiana da curva usando as equações paramétricas fornecidas:
Vamos precisar usar conceitos de matemática sobre equações paramétricas e como transformá-las em uma equação cartesiana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação paramétrica. Aqui, e são expressos em função de , que é o parâmetro. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e , ou seja, uma equação do tipo .
Passo 3
Vamos começar isolando o parâmetro na equação de :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Isso simplifica a relação entre e .
Passo 4
Vamos expandir a expressão para simplificar a equação:
Agora, temos uma expressão mais simples para a relação entre e .
Passo 5
A equação que encontramos, , é uma parábola. Isso nos ajuda a esboçar o gráfico da curva. Além disso, notamos que , o que significa que a curva está localizada no plano no espaço tridimensional.
Resposta
A equação cartesiana da curva é , que representa uma parábola no plano .