Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais: c(t) = i + j + (1 - t^2) k, t em R.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da curva definida pela função vetorial , onde t pode ser qualquer número real. Isso envolve conceitos de geometria espacial e funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como separar os componentes da função vetorial e interpretar o que cada uma representa no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes. Sabemos que i, vec(j) e k são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente. Então, podemos escrever:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente. As funções x(t) e y(t) são constantes e iguais a 1 para qualquer valor de t. Isso indica que a curva está localizada no ponto (1, 1) no plano xy. Já a componente nos mostra como a coordenada z varia com t.

Passo 4

A função é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto . Isso significa que, enquanto t varia, a coordenada z da curva desce quadraticamente a partir de .

Passo 5

Como x e y são sempre 1, a curva não se move ao longo dos eixos x e y. Portanto, toda a movimentação acontece ao longo do eixo z, formando uma parábola vertical passando pelo ponto e indo para baixo indefinidamente conforme t aumenta ou diminui.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, imagine um sistema de coordenadas tridimensional. Marque o ponto inicial e desenhe uma parábola que se estende para baixo ao longo do eixo z, mantendo sempre x = 1 e . A curva não se espalha para os lados, ficando fixada nas coordenadas x e y.

Resposta

A curva é uma parábola vertical no espaço tridimensional, localizada no ponto (1, 1) do plano xy e abrindo para baixo ao longo do eixo z, com o vértice em . O gráfico é uma linha curva que desce indefinidamente a partir desse ponto.

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