Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da curva definida pela função vetorial
, onde
pode ser qualquer número real. Isso envolve conceitos de geometria espacial e funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como separar os componentes da função vetorial e interpretar o que cada uma representa no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes. Sabemos que
,
e
são os vetores unitários nos eixos
,
e
, respectivamente. Então, podemos escrever:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada componente. As funções
e
são constantes e iguais a 1 para qualquer valor de
. Isso indica que a curva está localizada no ponto
no plano
. Já a componente
nos mostra como a coordenada
varia com
.
Passo 4
A função
é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto
. Isso significa que, enquanto
varia, a coordenada
da curva desce quadraticamente a partir de
.
Passo 5
Como
e
são sempre 1, a curva não se move ao longo dos eixos
e
. Portanto, toda a movimentação acontece ao longo do eixo
, formando uma parábola vertical passando pelo ponto
e indo para baixo indefinidamente conforme
aumenta ou diminui.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, imagine um sistema de coordenadas tridimensional. Marque o ponto inicial
e desenhe uma parábola que se estende para baixo ao longo do eixo
, mantendo sempre
e
. A curva não se espalha para os lados, ficando fixada nas coordenadas
e
.
Resposta
A curva é uma parábola vertical no espaço tridimensional, localizada no ponto
do plano
e abrindo para baixo ao longo do eixo
, com o vértice em
. O gráfico é uma linha curva que desce indefinidamente a partir desse ponto.