Um ponto move-se sobre uma curva
de modo que o vetor posição
é igual ao vetor tangente
, para todo
. Encontre as equações paramétricas de C.
Passo 1
Beleza, então temos uma questão de cálculo vetorial! O enunciado diz que um ponto está se movendo sobre uma curva
de tal forma que o vetor posição
é igual ao vetor tangente
para todo
. Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas dessa curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é o vetor posição, que nos dá a localização do ponto na curva no instante
. Já
é a derivada desse vetor em relação a
, ou seja, a velocidade do ponto, que também corresponde ao vetor tangente à curva nesse ponto.
Passo 3
A igualdade
é uma equação diferencial. Para resolver isso, vamos pensar componente por componente. Vamos supor que estamos trabalhando no plano
, então podemos escrever:
A equação
então se transforma em:
Passo 4
Agora, temos duas equações diferenciais simples:
Cada uma dessas equações é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é uma função exponencial. Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Resolvendo
:
A solução dessa equação é:
Onde
é uma constante de integração que pode ser determinada por uma condição inicial, se disponível.
Passo 6
Resolvendo
:
De forma similar, a solução é:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Portanto, as equações paramétricas da curva
são:
Resposta
As equações paramétricas da curva
são:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
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É verdadeiro ou falso?
(j) Se é monótona, então
é convergente.
(j) Se
É verdadeiro ou falso?
(e) Se é convergente, então
e
são convergentes.
(e) Se
Esboce a curva de nível de
que passa por
e desenhe o vetor gradiente em
.
a) .
a)
Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .
e)