Um ponto move-se sobre uma curva de modo que o vetor posição é igual ao vetor tangente , para todo . Encontre as equações paramétricas de C.

Passo 1

Beleza, então temos uma questão de cálculo vetorial! O enunciado diz que um ponto está se movendo sobre uma curva de tal forma que o vetor posição é igual ao vetor tangente para todo . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas dessa curva .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o vetor posição, que nos dá a localização do ponto na curva no instante . Já é a derivada desse vetor em relação a , ou seja, a velocidade do ponto, que também corresponde ao vetor tangente à curva nesse ponto.

Passo 3

A igualdade é uma equação diferencial. Para resolver isso, vamos pensar componente por componente. Vamos supor que estamos trabalhando no plano , então podemos escrever:
A equação então se transforma em:

Passo 4

Agora, temos duas equações diferenciais simples:
Cada uma dessas equações é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é uma função exponencial. Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Resolvendo :
A solução dessa equação é:
Onde é uma constante de integração que pode ser determinada por uma condição inicial, se disponível.

Passo 6

Resolvendo :
De forma similar, a solução é:
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Portanto, as equações paramétricas da curva são:

Resposta

As equações paramétricas da curva são:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Exercícios relacionados

É verdadeiro ou falso?
(j) Se é monótona, então é convergente.
É verdadeiro ou falso?
(e) Se é convergente, então e são convergentes.
Esboce a curva de nível de que passa por e desenhe o vetor gradiente em .
a) .
Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .