Para as funções
e
.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão para as funções
e
. Isso tá relacionado ao estudo de derivadas na matéria de Cálculo Diferencial. Vamos usar a segunda derivada das funções para descobrir onde elas estão “curvadas para cima” ou “para baixo” e onde mudam essa curvatura, que são os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a função
. Para achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada dessa função.
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada de
:
Agora, a segunda derivada é:
Passo 4
Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de
:
Então, a função
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
.
Para encontrar o ponto de inflexão, buscamos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, em
. Vamos verificar se existe mesmo uma mudança de concavidade nesse ponto substituindo valores próximos:
- Para
(menos que -1/4): (côncava para baixo) - Para
(maior que -1/4): (côncava para cima)
Como a concavidade mudou,
é um ponto de inflexão.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a função
.
Primeira derivada de
:
Usamos a regra do produto:
Agora, a segunda derivada:
Passo 6
Para determinar os intervalos de concavidade de
, analisamos onde
é positivo ou negativo:
Então,
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
.
Para encontrar o ponto de inflexão, verificamos
. Vamos confirmar a mudança de concavidade:
- Para
(< 0,223): (côncava para baixo) - Para
(> 0,223): (côncava para cima)
A concavidade mudou, então
é um ponto de inflexão.
Resposta
Para a função
:
- Intervalo de concavidade para baixo:
- Intervalo de concavidade para cima:
- Ponto de inflexão:
Para a função
:
- Intervalo de concavidade para baixo:
(aproximadamente ) - Intervalo de concavidade para cima:
(aproximadamente ) - Ponto de inflexão:
(aproximadamente )
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