Para as funções e .
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão para as funções e . Isso tá relacionado ao estudo de derivadas na matéria de Cálculo Diferencial. Vamos usar a segunda derivada das funções para descobrir onde elas estão “curvadas para cima” ou “para baixo” e onde mudam essa curvatura, que são os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a função . Para achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada dessa função.

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada é:

Passo 4

Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de :
Então, a função é côncava para cima quando e côncava para baixo quando .
Para encontrar o ponto de inflexão, buscamos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, em . Vamos verificar se existe mesmo uma mudança de concavidade nesse ponto substituindo valores próximos:
  • Para (menos que -1/4): (côncava para baixo)
  • Para (maior que -1/4): (côncava para cima)
Como a concavidade mudou, é um ponto de inflexão.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a função .
Primeira derivada de :
Usamos a regra do produto:
Agora, a segunda derivada:

Passo 6

Para determinar os intervalos de concavidade de , analisamos onde é positivo ou negativo:
Então, é côncava para cima quando e côncava para baixo quando .
Para encontrar o ponto de inflexão, verificamos . Vamos confirmar a mudança de concavidade:
  • Para (< 0,223): (côncava para baixo)
  • Para (> 0,223): (côncava para cima)
A concavidade mudou, então é um ponto de inflexão.

Resposta

Para a função :
  • Intervalo de concavidade para baixo:
  • Intervalo de concavidade para cima:
  • Ponto de inflexão:
Para a função :
  • Intervalo de concavidade para baixo: (aproximadamente )
  • Intervalo de concavidade para cima: (aproximadamente )
  • Ponto de inflexão: (aproximadamente )

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