Identificar as superficies definidas pelas equaçőes, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem (quando possivel), conforme o caso:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação quadrática com
,
e
:
O objetivo aqui é identificar que tipo de superfície essa equação representa e dizer ao longo de qual eixo ela ocorre, se possível. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de superfícies quadricas e completar o quadrado para reescrever a equação de uma forma mais fácil de identificar.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
,
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Para facilitar, vamos dividir cada grupo de termos pelo coeficiente quadrático.
Passo 3
Começamos com os termos de
:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Passo 4
Agora, os termos de
:
Completando o quadrado:
Então:
Passo 5
Por fim, os termos de
:
Completando o quadrado:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos tudo de volta na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então:
Adicionando 6 em ambos os lados:
Passo 7
Para simplificar, dividimos toda a equação por 6:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação representa uma esfera deslocada, com centro em
e raios
,
e
ao longo dos eixos
,
e
respectivamente. A superfície ocorre simultaneamente ao longo dos três eixos.
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Esboçar o gráfico:
Seja
Usando a definição de derivadas parciais, calcule e
.
Usando a definição de derivadas parciais, calcule