Esboçar o gráfico da função
Para o esboço do gráfico de uma função , sugerimos o roteiro:
a) explicitar o domínio;
b) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão;
d) calcular os limites laterais de , em , nos casos:
(i) mas é extremo de uni dos intervalos que compõen (ii) mas não é contínua em .
e) calcular os limites para e .
f) determinar ou localizar as raízes de

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente vai esboçar o gráfico da função . Isso envolve várias etapas, como descobrir o domínio, onde a função cresce ou decresce, a concavidade, pontos de inflexão, limites e as raízes da função. Vamos precisar de conceitos de derivadas para achar as crescimentos e concavidades, além de álgebra para encontrar as raízes.

Passo 2

a) Dominio
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como nossa função é um polinômio, ela está definida para todos os números reais. Então,

Passo 3

b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos calcular a primeira derivada :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, os pontos críticos são e .
Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para : Escolha
    Decrescente.
  • Para : Escolha
    Crescente.
  • Para : Escolha
    Crescente.
Então, a função está decrescendo para e crescendo para .

Passo 4

c) Concavidade e Pontos de Inflexão
Para estudar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada :
Vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Resolvendo a equação quadrática:
Agora, vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por e :
  • Para : Escolha
    Concava para cima.
  • Para : Escolha
    Concava para baixo.
  • Para : Escolha
    Concava para cima.
Portanto, há pontos de inflexão em e .

Passo 5

d) Limites Laterais em Pontos de Interesse
Como nossa função é um polinômio, ela é contínua em todo o domínio , então não há pontos onde a função não é contínua. Portanto, não precisamos calcular limites laterais nesses casos.

Passo 6

e) Limites para e
Vamos analisar o comportamento de quando vai para mais ou menos infinito.
O termo de maior grau é , que domina o comportamento da função.
  • Para :
  • Para :
Isso porque é sempre positivo, independentemente do sinal de , e o coeficiente é positivo.

Passo 7

f) Determinar as Raízes de
Vamos resolver :
Essa equação quártica pode ser complicada para resolver exatamente sem métodos avançados, mas podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 2 divididos pelos divisores de 3, ou seja, .
Testando :
Não é zero.
Testando :
Também não é zero.
Testando :
Nenhuma das tentativas simplifica a equação. Portanto, as raízes provavelmente não são racionais e precisaríamos usar métodos numéricos ou fatoração avançada para encontrá-las.

Resposta

O gráfico da função tem domínio em todos os números reais, é decrescente para e crescente para . Sua concavidade é para cima antes de , para baixo entre e , e novamente para cima após , com pontos de inflexão nesses valores de . Além disso, a função tende ao infinito positivo quando vai para ou . As raízes da função não são racionais e requerem métodos numéricos para serem identificadas. Com todas essas informações, você consegue esboçar o gráfico dessa função!

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(a) .
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a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
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