Esboçar o gráfico da função
Para o esboço do gráfico de uma função
, sugerimos o roteiro:
a) explicitar o domínio;
b) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão;
d) calcular os limites laterais de
, em
, nos casos:
(i)
mas
é extremo de uni dos intervalos que compõen
(ii)
mas
não é contínua em
.
e) calcular os limites para
e
.
f) determinar ou localizar as raízes de
a) explicitar o domínio;
b) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão;
d) calcular os limites laterais de
(i)
e) calcular os limites para
f) determinar ou localizar as raízes de
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente vai esboçar o gráfico da função
. Isso envolve várias etapas, como descobrir o domínio, onde a função cresce ou decresce, a concavidade, pontos de inflexão, limites e as raízes da função. Vamos precisar de conceitos de derivadas para achar as crescimentos e concavidades, além de álgebra para encontrar as raízes.
Passo 2
a) Dominio
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como nossa função é um polinômio, ela está definida para todos os números reais. Então,
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos calcular a primeira derivada
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados por esses pontos:
-
Para
: Escolha Decrescente. -
Para
: Escolha Crescente. -
Para
: Escolha Crescente.
Então, a função está decrescendo para
e crescendo para
.
Passo 4
c) Concavidade e Pontos de Inflexão
Para estudar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada
:
Vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Resolvendo a equação quadrática:
Agora, vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por
e
:
-
Para
: Escolha Concava para cima. -
Para
: Escolha Concava para baixo. -
Para
: Escolha Concava para cima.
Portanto, há pontos de inflexão em
e
.
Passo 5
d) Limites Laterais em Pontos de Interesse
Como nossa função é um polinômio, ela é contínua em todo o domínio
, então não há pontos onde a função não é contínua. Portanto, não precisamos calcular limites laterais nesses casos.
Passo 6
e) Limites para
e
Vamos analisar o comportamento de
quando
vai para mais ou menos infinito.
O termo de maior grau é
, que domina o comportamento da função.
-
Para
: -
Para
:
Isso porque
é sempre positivo, independentemente do sinal de
, e o coeficiente é positivo.
Passo 7
f) Determinar as Raízes de
Vamos resolver
:
Essa equação quártica pode ser complicada para resolver exatamente sem métodos avançados, mas podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 2 divididos pelos divisores de 3, ou seja,
.
Testando
:
Não é zero.
Testando
:
Também não é zero.
Testando
:
Nenhuma das tentativas simplifica a equação. Portanto, as raízes provavelmente não são racionais e precisaríamos usar métodos numéricos ou fatoração avançada para encontrá-las.
Resposta
O gráfico da função
tem domínio em todos os números reais, é decrescente para
e crescente para
. Sua concavidade é para cima antes de
, para baixo entre
e
, e novamente para cima após
, com pontos de inflexão nesses valores de
. Além disso, a função tende ao infinito positivo quando
vai para
ou
. As raízes da função não são racionais e requerem métodos numéricos para serem identificadas. Com todas essas informações, você consegue esboçar o gráfico dessa função!
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Calcule os limites abaixo, sabendo que
e que
.
(a) .
(a)
Verificar se a função definida por
é contínua em
.
Um corpo descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo Xe em torno da origem dos espaços segundo a equação horária da posição
5.
. Sabendo que
é dado em metros e t é dado em segundos, no instante módulo da aceleração escalar do corpo, em
, será:
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
(4,0 pts) Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva
no ponto
.