Verificar se a função definida por
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função definida por
é contínua em
. O conteúdo envolvido aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, a gente vai precisar entender o conceito de limite e como ele se relaciona com a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar: uma função é contínua em um ponto
se três coisas forem verdade:
- A função está definida em
(ou seja, existe). - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja,
.
Então, vamos verificar esses três pontos para
.
Passo 3
1. A função está definida em
?
Sim, está definida! Pelo enunciado,
.
2. O limite de
quando
se aproxima de 1 existe?
Vamos calcular
. Antes de mais nada, percebemos que se substituirmos
diretamente, temos uma indeterminação
. Então, precisamos simplificar a expressão.
3. Simplificando a expressão:
Podemos cancelar
no numerador e denominador (desde que
):
Então, o limite fica:
Passo 4
4. Comparando o limite com o valor da função:
Calculamos que:
E sabemos que:
Como o limite quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1, todas as condições para continuidade são atendidas.
Resposta
A função
é contínua em
.