Verificar se a função definida por é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função definida por
é contínua em . O conteúdo envolvido aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, a gente vai precisar entender o conceito de limite e como ele se relaciona com a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: uma função é contínua em um ponto se três coisas forem verdade:
  1. A função está definida em (ou seja, existe).
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .
Então, vamos verificar esses três pontos para .

Passo 3

1. A função está definida em ?
Sim, está definida! Pelo enunciado, .
2. O limite de quando se aproxima de 1 existe?
Vamos calcular . Antes de mais nada, percebemos que se substituirmos diretamente, temos uma indeterminação . Então, precisamos simplificar a expressão.
3. Simplificando a expressão:
Podemos cancelar no numerador e denominador (desde que ):
Então, o limite fica:

Passo 4

4. Comparando o limite com o valor da função:
Calculamos que:
E sabemos que:
Como o limite quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1, todas as condições para continuidade são atendidas.

Resposta

A função é contínua em .

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Calcular os limites seguintes:
Calcular os seguintes limites:
Calcule os limites abaixo, sabendo que e que .
(a) .
Esboçar o gráfico da função
Para o esboço do gráfico de uma função , sugerimos o roteiro:
a) explicitar o domínio;
b) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão;
d) calcular os limites laterais de , em , nos casos:
(i) mas é extremo de uni dos intervalos que compõen (ii) mas não é contínua em .
e) calcular os limites para e .
f) determinar ou localizar as raízes de