Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante).
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente esboçar o gráfico da função
no primeiro octante. Isso envolve entender um pouco de geometria espacial e como as funções se comportam em 3D. Vamos precisar usar conhecimentos sobre superfícies parabólicas e as condições do primeiro octante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma equação que representa uma parábola invertida no plano y-z, já que o termo
está subtraído de 9. Basicamente, para cada valor de y, a gente calcula z.
Passo 3
No contexto tridimensional, como não há termo com x, isso significa que a parábola se estende indefinidamente ao longo do eixo x. Ou seja, a superfície formada é um cilindro parabólico que abre para baixo.
Passo 4
Agora, como o enunciado pede para esboçar no primeiro octante, precisamos lembrar que no primeiro octante todas as coordenadas (x, y, z) são positivas. Então, vamos considerar apenas os valores de y e z que satisfazem
e
.
Passo 5
Vamos encontrar os interceptos para facilitar o esboço:
- Quando
, . Então, o ponto (x, 0, 9) está no gráfico. - Quando
, , ou seja, . Assim, os pontos (x, 3, 0) também estão no gráfico.
Passo 6
Com esses pontos, a gente pode desenhar uma parábola no plano y-z que passa de (x, 0, 9) até (x, 3, 0) para qualquer valor de x positivo. Isso forma um cilindro que se estende ao longo do eixo x no primeiro octante.
Passo 7
Então, o esboço do gráfico será uma superfície parabólica que desce de z = 9 em y = 0 até z = 0 em y = 3, se estendendo infinitamente na direção positiva de x.
Resposta
O gráfico de
no primeiro octante é um cilindro parabólico que inicia no ponto (x, 0, 9) e desce até (x, 3, 0), estendendo-se indefinidamente ao longo do eixo x. Esse esboço mostra uma parábola invertida no plano y-z, limitada aos valores positivos de y e z.
Exercícios relacionados
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em
, o conjunto de pontos do domínio de
:
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Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante).
(b) ;
(b)
Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas:
(b) limitado superiormente por: e inferiormente por
.
(b) limitado superiormente por:
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da funçio em relaçāo a cada variável.