Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas:
(b) limitado superiormente por: x^2 + y^2 + z^2 = 9 e inferiormente por z^2 = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar os gráficos de um sólido que é limitado por duas superfícies: acima pela esfera e abaixo por um cone . Vamos usar conceitos de geometria analítica para entender e desenhar esse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  1. Esfera : Essa é uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio 3, porque .
  2. Cone : Essa é a equação de um cone de dupla face (um com ponta para cima e outro para baixo), também centrado na origem. O ângulo do cone pode ser determinado observando a relação entre z e os outros eixos.

Passo 3

Vamos visualizar cada uma dessas superfícies:
  • Esfera: Imagine uma bola perfeitamente redonda com raio 3.
  • Cone: Imagine duas conas opostas, uma apontando para cima e outra para baixo, formando um “X” no meio.

Passo 4

Agora, queremos o sólido que está acima da esfera e abaixo do cone. Mas, na verdade, a esfera está cebada no espaço tridimensional, e o cone também ocupa uma região.
O que realmente queremos é a porção da esfera que está dentro do cone. Ou seja, é a parte da esfera que está limitada pelo cone.

Passo 5

Para entender melhor, vamos encontrar onde essas duas superfícies se intersectam. Vamos igualar as equações:

Substituindo a segunda na primeira:



Isso significa que a esfera e o cone se intersectam nos planos z = e z = .

Passo 6

Visualizando isso, o sólido limitado será parecido com uma “facinha” da esfera onde ela é cortada pelo cone. Basicamente, é a parte da esfera que está dentro do cone, entre os dois pontos de interseção.

Passo 7

Para esboçar:
  1. Desenhe uma esfera com raio 3.
  2. Desenhe o cone , que se abre para cima e para baixo.
  3. Marque as interseções nos planos z = e z = .
  4. Sombreie a região da esfera que fica dentro do cone entre esses dois planos.

Resposta

O sólido é a parte da esfera de raio 3 centrada na origem que está dentro do cone , situada entre os planos e . O esboço mostra a esfera cortada pelo cone, com a região interna sombreada representando o sólido limitado pelas duas superfícies.

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