Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas:
(b) limitado superiormente por:
e inferiormente por
.
(b) limitado superiormente por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar os gráficos de um sólido que é limitado por duas superfícies: acima pela esfera
e abaixo por um cone
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para entender e desenhar esse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
-
Esfera
: Essa é uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio 3, porque . -
Cone
: Essa é a equação de um cone de dupla face (um com ponta para cima e outro para baixo), também centrado na origem. O ângulo do cone pode ser determinado observando a relação entre z e os outros eixos.
Passo 3
Vamos visualizar cada uma dessas superfícies:
- Esfera: Imagine uma bola perfeitamente redonda com raio 3.
- Cone: Imagine duas conas opostas, uma apontando para cima e outra para baixo, formando um “X” no meio.
Passo 4
Agora, queremos o sólido que está acima da esfera e abaixo do cone. Mas, na verdade, a esfera está cebada no espaço tridimensional, e o cone também ocupa uma região.
O que realmente queremos é a porção da esfera que está dentro do cone. Ou seja, é a parte da esfera que está limitada pelo cone.
Passo 5
Para entender melhor, vamos encontrar onde essas duas superfícies se intersectam. Vamos igualar as equações:
Substituindo a segunda na primeira:
Isso significa que a esfera e o cone se intersectam nos planos z =
e z =
.
Passo 6
Visualizando isso, o sólido limitado será parecido com uma “facinha” da esfera onde ela é cortada pelo cone. Basicamente, é a parte da esfera que está dentro do cone, entre os dois pontos de interseção.
Passo 7
Para esboçar:
- Desenhe uma esfera com raio 3.
- Desenhe o cone
, que se abre para cima e para baixo. - Marque as interseções nos planos z =
e z = . - Sombreie a região da esfera que fica dentro do cone entre esses dois planos.
Resposta
O sólido é a parte da esfera de raio 3 centrada na origem que está dentro do cone
, situada entre os planos
e
. O esboço mostra a esfera cortada pelo cone, com a região interna sombreada representando o sólido limitado pelas duas superfícies.