Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies: z = raiz(4 - x^2 - y^2) ; x^2 + y^2 = 3. Considere o sólido interior a superfície cilíndrica e z ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. A gente precisa fazer um esboço de um sólido que é definido por duas superfícies: e . Além disso, esse sólido está dentro da superfície cilíndrica e com . Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de segundo grau e como elas se intersectam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira superfície: . Essa equação representa a parte superior de uma esfera com raio 2, centrada na origem (0,0,0). A gente usa a raiz porque está considerando apenas , ou seja, a metade de cima da esfera.

Passo 3

Agora, a segunda superfície é . Essa é a equação de um cilindro circular vertical com raio e centralizado no eixo z. Esse cilindro se estende infinitamente para cima e para baixo no eixo z.

Passo 4

Para visualizar o sólido, vamos pensar na interseção dessas duas superfícies. O cilindro corta a esfera em uma curva. Vamos encontrar essa interseção para saber até onde o sólido vai.

Passo 5

Para encontrar a interseção, substituímos na equação da esfera:
Então, a interseção ocorre no plano .

Passo 6

Isso significa que o sólido é limitado pela esfera até e pelo cilindro até essa mesma altura. Para fazer o esboço, desenhamos a parte da esfera acima de e o cilindro que a corta nessa altura.

Passo 7

No esboço, você vai desenhar a esfera com raio 2, a linha horizontal no nível indicando a interseção, e o cilindro que passa por essa linha, mostrando que o sólido está dentro do cilindro e abaixo da esfera.

Resposta

O esboço do sólido consiste na parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Visualmente, é uma “cúpula” esférica limitada pelo cilindro na altura .

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