Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies:
. Considere o sólido interior a superfície cilíndrica e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. A gente precisa fazer um esboço de um sólido que é definido por duas superfícies:
e
. Além disso, esse sólido está dentro da superfície cilíndrica e com
. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de segundo grau e como elas se intersectam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira superfície:
. Essa equação representa a parte superior de uma esfera com raio 2, centrada na origem (0,0,0). A gente usa a raiz porque está considerando apenas
, ou seja, a metade de cima da esfera.
Passo 3
Agora, a segunda superfície é
. Essa é a equação de um cilindro circular vertical com raio
e centralizado no eixo z. Esse cilindro se estende infinitamente para cima e para baixo no eixo z.
Passo 4
Para visualizar o sólido, vamos pensar na interseção dessas duas superfícies. O cilindro corta a esfera em uma curva. Vamos encontrar essa interseção para saber até onde o sólido vai.
Passo 5
Para encontrar a interseção, substituímos
na equação da esfera:
Então, a interseção ocorre no plano
.
Passo 6
Isso significa que o sólido é limitado pela esfera até
e pelo cilindro até essa mesma altura. Para fazer o esboço, desenhamos a parte da esfera acima de
e o cilindro que a corta nessa altura.
Passo 7
No esboço, você vai desenhar a esfera com raio 2, a linha horizontal no nível
indicando a interseção, e o cilindro que passa por essa linha, mostrando que o sólido está dentro do cilindro e abaixo da esfera.
Resposta
O esboço do sólido consiste na parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Visualmente, é uma “cúpula” esférica limitada pelo cilindro na altura
.